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1、数学分析 1suda08数学分析 207数学分析 31. 06 求下列极限:(1). ，其中 ；（2）(1)limnn01p24cosarin0limxex数学分析 42设函数 f(x)= 。讨论 m=1,2,3 时 f(x)在 x=0 处的连续性，可微性及导函数的连续性。1sin,0mx3设 u=f(x,y+z)二次可微。给定球变换 , , .计算 。cosinsinycosz2,u4设 f(x)二次可导， = =0。证明 ，使 。()fab(,)ab2 4()()baffb5设函数项级数 在区间 I 上一致收敛于 s(x)，如果每个 都在 I 上一致连续。证明 s(x)在 I 上一致连续。
2、1nuxnux6设 f(x,y)是 上的连续函数，试交换累次积分 的积分次序。2 21(,)xdfyd7设函数 f(x)在0,1上处处可导，导函数 ，其中 ， 均是单调函数，并且 ()fFG(Fx)()fx0， 。证明 ，使 ， 。,1x0cxc0,18设三角形三边长的和为定值 P。三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大？05.(2)1lim,(0)2lili1(2)li ),()0,()()( ()0,nnnnnxaabbbfaffxaf xaf 求 下 列 极 限（ ）解 ： 因 为而因 此 其 中 存 在解 ： 由 于 存 在 ， 从 而 =+x- 2222()()(
3、)lim()lim)(li( ()( ()limxa xaxax offxfxf af ox -f)+2222()()( ()1)2li()()()axaxaf oxaf fxaf-数学分析 600 0 002.(18)1() ().()0, ,1,12,()()()limxfxfx fxf fnkff kk knnnn设 在 ， 上 可 微 ， 且 的 每 一 个 零 点 都 是 简 单 零 点 ， 即 若则 证 明 ： 在 上 只 有 有 限 个 零 点 。证 明 ： 设 若 不 然 在 上 有 无 穷 多 个 零 点 ， 不 妨 设 x则 存 在 的 一 个 子 列 使 得 且 ， 从
4、而则 0 000)()li,1xfff 与 题 设 相 矛 盾 ！所 以 在 上 只 有 有 限 个 零 点 。2003.()2()(),(),0,0,2()fRxdfyLxyRfxyfxLx xR 00设 是 上 的 周 期 函 数 ， 满 足 ：（ ）证 明 ： （ 1） f在 上 可 以 取 到 最 大 值 ， 最 小 值 （ ） ma证 明 ： （ ） 由 知取 当 时 ， 有取 0,22 20 0(),(),(),1() ()()(fxLf fxxRffdffxdf MxM0则 有从 而 在 上 连 续 ， 既 在 上 可 以 取 到 最 大 值 ， 最 小 值又 是 上 的 周 期
5、 函 数 ， 所 以 在 R上 可 以 取 到 最 大 值 ， 最 小 值 。（ ） 令 ma由 知 ， 使 得以 下 分 三 种 情 况 讨 论 ：a当 x时f 0,2()2)()(2)()()fxLfffLLcfff x0M0M00MM 0ab当 时 ,由 f(的 周 期 性 ， 得2f fxx当 x令 显 然 在 连 续下 证 f()1= 2232222 2icosin(1cos)i(cs)oinco,(0)(csssin1cosin3iin3i),()() xxxhxxxxxhxh令所 以 单 调 递 增 ， 023200limcosicosin0,()()()sinliml1co()
6、1tan,()si2xxxfff 从 而又所 以 即 在 单 调 递 增所 以 即从 而数学分析 1111114.(20)(0(1)() ln,23ln3()()()nnnknfxdLfafxdaffxk=k=k=设 在 ， +） 上 非 负 递 减 ， 证 明 +时有 极 限 ， 且设 证 明 数 列 收 敛 。证 明 ： （ ） 令则 f()12 (1)(0,()(1)0(1)0,()ln()nnnnnk kfnffxdffxafaLfxf n-k=1f()f所 以 有 下 界又 其 中 （ ,+由 于 在 ， ） 上 非 负 递 减 ， 所 以从 而 单 调 递 减因 此 收 敛 且 两
7、 边 令 有（ ） .令 =111011100()()()()()ln1l()1()nknnkfdffxdffxddxxx :有 （ ） 知 道 收 敛又 令 g)=可 以 知 道 是 的 瑕 点 ， 时 ，而 10()nxa0收 敛 ， 所 以 收 敛因 此 收 敛22 22225.2()1cosin()cos(sin)sicosuxurxruurrr（ ） 设 u,y在 平 面 上 二 次 连 续 可 微 ， =rcos,yrin,(0)用 关 于 r的 偏 导 数 表 示用 关 于 ,的 一 ， 二 阶 偏 导 数 表 示解 ： （ ） 222cssirrr数学分析 122212236.
8、(5)0,(),()(),()1()1(),)nn nnaafxfxggxxhhxxgf =1n= =1=设 求 级 数 的 和解 ： 设 的 收 敛 区 间 为 （ -， ）令 则令 则则 ， （ ） （ ）从 而（ ） （ 32 331(1)2(1)()n aafa = ）222244rrOFABADOBaraES 7.（ 0） 设 半 径 为 r的 球 面 s的 球 心 在 半 径 为 常 数 的 定 球 面 上 ， 问 ：r为 何 值 时 ， s位 于 定 球 面 内 部 部 分 面 积 最 大 ？解 ： 设 位 于 定 球 面 内 部 部 分 面 积 为 S,为 一 球 冠 ， 则
9、=rh,其 中 为 球 冠 的 高如 图 ， E=h,作 F则 a所 以因 此 rh=(234433)06|rararrS令所 以 当 时 ， 最 大-4 -2 2 4 6 8 107654321-1-2-3E BO DA108642-2-4r-10 -5 5 10a DFAOBE数学分析 131 10101. lim()()()lim,li)(,)()( xxx gffAAggCauchyffxgx000 （ 5设 函 数 在 的 某 个 领 域 上 可 导 ， 且 (),如 果 证 明 ， 其 中 是 实 数 。证 明 ： 取 由 中 值 定 理 ， 令f-有 1111101 ()()()
10、(),0,)(4fxgfAgxfAAgxxxx0-f从 而所 以令 ， 则 使 得 当 时 ， 有f-将 固 定 ， 0 1111111 (),()()2)()()() 2( 4lim)xxxAagfAggxfAgxfxfAg 0令 ， 则 由 ()知 道使 有于 是 -f （ ） 所 以03 设 在有限开区间 上连续， 证明存在 使得240sinarctlxx()fx(,)ab12,(,)nxabL(,)ab1()()njjff设 是 上的无穷次可微函数 求()fx,)21()nf()0,12,kfL设 是简单的封闭曲面，分别计算曲面积分 当原点在 之外和在 之内时的值，其中 取外S 322
11、()xdyzxzdyISS侧利用积分号下积分法或积分号下微分法计算积分 20cos,(0)abIdxa设 二次连续可微，且 证明：()fx0()limxf 绝对收敛；如果数列 满足 ，则 存在且大于零1nfna1()nflimna设 是 的实对称矩阵证明如果 是 的最小特征值，则 是正定矩阵A0A0nEA数学分析 14021 （12 分）计算： ，()a22221lim(1)nnnL(b2coslimxn2 （10 分）设 是方程组 的解，证明： 0(,)xyzzxy2200953953xyz3 （10 分）设 ，证明：222,(,)(,)vwuvfzFuvw。xyzwffF4 （12 分）设
12、 其中 。证明：数列 收敛时，数列 也收敛。1,nnpqxLpqnynx5 （14 分）设函数 义在 上有定义，并且在每一个有限区间 内有界，f,a,ab证明：如果 ，证明： 。()alimxflimxf举出反例说明当 时，未必成立b1fxlixf6 （12 分）设 是以 T 为周期的周期函数，且 ，证明 。()fx0()TfdC2()linfxdC7 （15 分）设函数 在整个实数轴有连续的三阶导函数，证明：存在实数 ，使 。a()0fafa8 （15 分）设半径为 的球面 S 的球心在半径为常数 的定球面上，试证明：当 时，S 位于定球面内部部分的面积最大。ra43r1 00 设 在 上连续， 存在且有限，证明： 在 上一致连续fx,alimxffx,a2 设 ，其中 ，而 1nnq10q01(1)证明数列 收敛，并求 (2)证明数列 收敛，并证 nxlinxnx1limnxq证明不等式 设 21l.0xx1,0,nxeS(1)证明 在 上连续，可微(2)求出 的具体表达式S0,计算三重积分： ，其中22Vyzd 22,:,8Vxyzz(1)设 在 上单调，且 收敛证明：f,aafxlim0xf01sin,xFdt(2)设 在 上连续，且 绝对收敛，是否有 说明你的理由d数学分析 14证明任意一个数列 都存在单调子列na证明函数 在 上有无穷多个零点01sixFdt,
