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1、第三章 电阻电路的一般分析方法, 3. 2 KCL和KVL的独立方程数, 3. 3 支路电流法, 3. 4 网孔电流法, 3. 6 结点电压法, 3. 1 电路的图, 3. 5 回路电流法,3-1电路的图,图（G）：结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连接到相应的结点上。,一、图（G）：,图（G）,5个结点，8条支路。,在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它连接的结点也移去，所以允许有孤立的结点存在。若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都移去。,二、无向图、有向图：,支路的方向即该支路的电流（和电压）的参考方向。电压电流
2、取关联参考方向。,未赋予支路方向的图称为无向图。,赋予支路方向的图称为有向图。,首页,下一节,3-2 KCL和KVL的独立方程数,一、KCL独立方程数：,对有n个结点的电路，就有n个KCL方程。每条支路对应于两个结点,支路电流一个流进,一个流出。 如果将n个结点电流方程式相加必得0=0，所以独立结点数最多为(n1)。可以证明：此数目恰为(n1)个。即 n个方程中的任何一个方程都可以从其余(n1)个方程推出 来。,独立结点：与独立方程对应的结点。 任选(n1)个结点即为独立结点。,独立的KCL方程数：n个结点的电路，在任意（n-1）个结点上可以得出n-1个独立的KCL方程。,二、KVL独立方程数
3、：,1、连通图：当G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，G就称为连通图。,从图G的某一个结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图G的一条路径。,2、回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合路径就构成G的一个回路。,3、树、树支、连支：,利用“树”的概念来寻找一个图的独立回路组，从而得到独立的KVL方程组。,树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和部分支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。,树支：树中保含的支路称为该树的树支。,连支：其他的支路则称为对应于该树的连支。,可以证明，任一个具有n个结点的连通图，它的任何一个
4、树的树支数为（n-1）。,4、独立回路：,连通图G的树支连接了所有的结点又不形成回路，因此，对于G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加的连支外，均由树支组成。,这种回路称为单连支回路或基本回路。,每一个基本回路仅由一个连支，且这一连支并不出现在其他基本回路中。由全部连支形成的基本回路构成基本回路组。显然，基本回路组是独立回路组。,根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程。,每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。因这样所建立的方程不可能由原来方程导出，所以，肯定是独立的(充分条件)。可以证明:结点数为 n，支路数为 b 的连通图，其独立回路数 l =（b - n
5、+1）。,平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。,5、网孔,平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定 的区域内不再有支路。,平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数也就是独立回路数。,一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数。,首页,下一节,上一节,一、2b法：以支路电压和支路电流为电路变量列写方程的方法。,3-3 支路电流法,结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 2b 个未知数。,KCL：n 1 个方程。,KVL：b n + 1 个方程。其独立回路数 l =（b - n+1）。,VCR：b 个方程。
6、,总计方程数为2b，与未知数相等。这种方法，称为2b法。,二、支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 b 个未知数。方程数减少一半。, R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 is5 = 0, R2 i2 R4 i4 + R6 i6 = 0,R1 i1 us1 + R2 i2 + R3 i3=0,整理得：,方程组1和方程组2就是以支路电流i1 i2 i3 i4 i5 i6为未知量的支路电流法的方程。,式中 Rk ik 为回路中第k个支路的电阻上的电压，和式遍及回路中所有支路，且当ik 参考方向与回路方向一致时，前面
7、取“+”号，不一致时，取“”；,右方usk为回路中第k个支路的电源电压，电源电压包括电压源，也包括电流源引起的电压。 usk的方向与回路方向一致时，前面取“”； usk的方向与回路方向不一致时，前面取“+”；,支路电流法的一般步骤：,(1) 标定各支路电流的参考方向；,(2) 选定(n1)个结点，写出KCL方程；,(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(3) 选定b(n1)个独立回路，指定回路的绕行方向，按照 ， 列写其KVL方程；,3-4 网孔电流法,网孔电流法：以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它仅适用于平面电路。,假设有两个电流 im1 (= i1 )和 im2 (= i
8、3 )分别沿此平面电路的两个网孔连续流动。,假想的im1、 im2称为网孔电流。,im1,im2,由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方程来求解电路，根据KVL对全部网孔列出方程，由于全部网孔是一组独立回路，这组方程将是独立的；这种方法称为网孔电流法。,回路1：R1 im1+R2(im1- im2) - uS1+ uS2 = 0,回路2： R2(im2- im1)+ R3 im2 - uS2 = 0,整理得，,(R1+ R2) im1 - R2 im2= uS1 - uS2,- R2 im1+ (R2 +R3) im2 = uS2,电压与网孔电流
9、绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,即是以网孔电流为求解对象的网孔电流方程。,R11,R22,R21,R12,uS11,uS22,由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方程来求解电路，根据KVL对全部网孔列出方程，由于全部网孔是一组独立回路，这组方程将是独立的；这种方法称为网孔电流法。,R11im1 + R12im2= uS11,R21im1 + R22im2 = uS22,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有m个网孔的平面电路，有,其中,Rkk:自阻(正) ，k=1,2,m。,Rjk:互阻,+ : 流过互阻两个网孔电流方向相同,- :
10、流过互阻两个网孔电流方向相反,0 : 无关,uS11 、 uS22等为网孔1、2等的总电压源的电压，各电压源的方向与网孔电流方向一致时，前面取负号；反之取正号。,(1) 根据给定的电路，选定网孔作为独立回路。,(2) 对m个独立回路，以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；（自阻、互阻、电压源）,(4) 求各支路电流(用网孔电流表示)；,网孔电流法的一般步骤：,(3) 求解上述方程，得到m个网孔电流；,(5) 其它分析。,解：,Im2,Im3,Im1,(2) 列 网孔 方程,( 60 + 20 ) Im1 - 20 Im2 = 50 - 10,- 20 Im1 + ( 20 + 40 ) Im2
11、 - 40Im3 = 10,- 40 Im2 + (40 + 40 ) Im3 = 40,(3) 求解网孔电流方程，得 Im1 , Im2 , Im3,(4) 求各支路电流：,得：,(5) 校核：,选一新回路,选外回路。,I1= Im1,I2= - Im1 + Im2,I3= Im2 - Im3,60I1 - 40I4 = 50+40,I4= - Im3,把I1 I4带入得90=90，故答案正确。,= 0.786A,= 0.357A,= 0.072A,= - 1.071A,3-5 回路电流法,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,它适用于平面电路或非平面电路。是一种实用性
12、较强并获得广泛应用的分析方法。,假想3个回路电流 il1 、 il2 、 il3 。,i1 = il1,i2 = il2,i3 = il3,i4 = - il1 + il2,i5 = - il1 - il3,i6 = - il1 + il2 - il3,il1,il2,il3,具有b个支路和n个结点的电路，b个支路电流受（n-1）KCL个方程的约束，仅有（b-n+1）个支路电流是独立的；连支数恰好是（b-n+1），所以回路电流可以作为电路的独立变量。,在回路电流法中，只须按KVL列方程，不必再用KCL。,具有b个支路和n个结点的电路，回路电流数l =（b-n+1）。回路电流方程的一般形式：,其
13、中,Rkk:各回路自阻(正) ，k=1,2,l,Rjk:互阻,+ : 流过互阻两个回路电流方向相同,- : 流过互阻两个回路电流方向相反,0 : 无关,R11 il1+ R12 il2+ + R1l ill = uS11,R21 il1+R22 il2+ + R2l ill = uS22,Rl1 il1 + Rl2 il2+ + Rll ill = uSll,uS11 、 uS22等为回路1、2等的总电压源的电压，各电压源的方向与回路电流方向一致时，前面取负号；反之取正号。,il1,il2,il3,il1,il2,il3,解：,树：支路（4，5，6）,( R1+R6 + R5 + R4 ) i
14、l1 + (R5 + R4 ) il2 - (R5 + R6 ) il3 = - us1+us2,(R5 + R4 ) il1 + (R2+R5+R4) il2 - R5 il3 = us2,- (R5 + R6 ) il1 - R5 il2 +(R3+R5 +R6 ) il3 = - us2,带入数据得：,7 il1 + 4 il2 - 4 il3 = - 2,4 il1 + 5 il2 - 2 il3 = 2,- 4 il1 - 2 il2 +5 il3 = - 2,(1) 根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路，并指定回路电流（即连支电流）的参考方向。,(2) 对l个独立回路，以
15、回路电流为未知量，列写其KVL方程；（自阻、互阻、电压源）,回路电流法的一般步骤：,(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,3-6 结点电压法,任意选择一结点为参考点，其它结点与参考结点的电压称为结点电压。结点电压的参考极性是以参考结点为负，其余独立结点为正。,结点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,举例说明：,(1) 选定下端的结点为参考节点。,(2) 列KCL方程：,i1 + i2+ i3+ i4 - is1+ is2 - is3 = 0,- i3 - i4+ i5 + is3 = 0,代入支路特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = iS11,G21un1+G22un2 = iS22,G11,G12,iS11,G21,G22,iS22,一般情况：,G11un1+G12un2+G1(n-1)un(n-1)=iS11,G21un1+G22un2+G2(n-1)un(n-1)=iS22, ,G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+G(n-1)nun(n-1)=iS (n-1)(n-1),其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,
