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1、暑假专题相似三角形重点、难点：1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。【知识纵横】1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles） 。议一议：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？2. 相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。说明：相似比要注意顺序：如ABCABC的相似比
2、 ，而ABCkAB1ABC 的相似比 ，这时 。kAB2k123. 相似三角形的识别（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。【典型例题】例 1. 如图，123，图中相似三角形有（ ）对。 A D E 3 B C 2 1答：4 对 例 2. 如图，已知：ABC、DEF，其中A50，B60，C70，D40，E60，F80，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使ABC 所分成
3、的每个三角形与DEF 所分成的每个三角形分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。 B E A C D F 解：B E M 60o N 60o 50o 70o 40o 80o A C D F 例 3. （2004广东省）如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连结 CF 交 AD 于点 E。（1）求证：CDEFAE；（2）当 E 是 AD 的中点，且 BC2CD 时，求证：FBCF。 D C E F A B 命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。解析：由 ABDC 得：FDCE，EAFDCDEFAE，又 E 为 AD 中点CDFAD
4、EAE，从而 CDFA，结合已知条件，易证BFBC，FBCF 解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形ABCDFDCE，EAFDCDEFAE（2）E 是 AD 中点，DEAE由（1）得： CDAFECDAF四边形 ABCD 是平行四边形ABCDABCDAFBF2CD，又 BC2CDBCBFFBCF思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。例 4. 在梯形 ABCD 中，A90，ADBC，点 P 在线段 AB 上从 A 向 B 运动，（1）是否存在一个时刻使ADPBCP；（2）若 AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，则 AP 的长度为多少？ A D B
5、 C 解：（1）存在 A D P B C （2）若ADPBCP，则 ADP设 APx46104， ，或 DBC 或41064x， x6或APAP 长度为 4 或 6例 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 （ ）SSDFBAF： ： A. 4：10：25 B. 4：9：25C. 2：3：5 D. 2：5：25（2001 年黑龙江省中考题）思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。选 A例 6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90，AB5cm，BC3cm，试设计一种
6、方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。解：如图甲，设正方形 EFGH 边长为 x，则 AC4而 CDABACBC ，得2SABCD125又CEHCAB，得 MEH于是 ，解得：125xx6037 如图乙，设正方形 CFGH 的边长为 y cm由 GHAC，得： GHACB即 ，解得：y43127Qxyx6076035， ，即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为 127cm例 7. 如图，已知直角梯形 ABC
7、D 中，AB90，设 ，ABaDb，作 DEDC，DE 交 AB 于点 E，连结 EC。BCba2()（1）试判断DCE 与ADE、DCE 与BCE 是否分别一定相似？若相似，请加以证明。（2）如果不一定相似，请指出 a、b 满足什么关系时，它们就能相似？解：（1）DCE 与ADE 一定相似，DCE 与BCE 不一定相似，分别延长 BA、CD 交于 F 点由FADFBC，得： FDCABb21于是 FDDC，从而可证FEDCED得AEDDEC所以DECAED（2）作 CGAD 交 AD 延长线于 G， ab2 由AEDGDC，有 ，得AEGDCAEbaDbabBaEDbab222222222B
8、Cb2要使DCE 与BCE 相似，那么 一定成立BEDC即 ，得ab2ab23也就是当 时，DCE 与BCE 一定相似。【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）1. 如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于 O，若 ，则SDECOB： ：916AD：DB_。2. 如图，ABC 中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC 的面积为 S，则ADE 的面积为_。3. 若正方形的 4 个顶点分别在直角三角形的 3 条边上，直角三角形的两直角边的长分别为 3cm 和 4cm，则此正方形的边长为_。（2000 年武汉市中考题）4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何
9、体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比： ，设 分别表示这两个正方体的表面积，则ab： S甲 乙：，又设 分别表示这两个正方体的体积，则 。S甲乙 622V甲 乙、 Vab甲乙 33（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体 B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体 D. 两个长方体（2）请归纳出相似体的 3 条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于_；相似体表面积的比等于_；相似体体积的比等于_。（2001 年江苏省泰州市中考题）5. 如图，铁道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长
10、 16 m，当短臂端点下降 0.5 m 时，长臂端点升高（ ）A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m6. 如图，D 为ABC 的边 AC 上的一点，DBCA，已知 ，BCD 与ABC 的BC2面积的比是 2：3，则 CD 的长是（ ） A. B. C. D. 43323437. 如图，在正三角形 ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且 ，AEBE，则有（ ADC1）A. AEDBED B. AEDCBDC. AEDABD D. BADBCD（2001 年杭州市中考题）8. 如图，已知ABC 中，DEFGBC，且 AD：FD：FB1：2：3，则等于（ ）
11、SSADEFGEFBCG： ：四 边 形 四 边 形A. 1：9：36 B. 1：4：9C. 1：8：27 D. 1：8：369. 如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ACDB，求证： ABCD210. 如图，ABC 中，D 是 BC 边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 AB 相交于点E，EC 与 AD 相交于点 F。（1）求证：ABCFCD；（2）若 ，求 DE 的长。SBCD510，（2000 年河北省中考题） 11. 阅读并解答问题。在给定的锐角ABC 中，求作一个正方形 DEFG，使 D、E 落在 BC 上，F、G 分别落在AC、AB 边上，作法如下：第一步：画一个有 3
12、 个顶点落在ABC 两边上的正方形 DEFG。第二步：连结 BF，并延长交 AC 于点 F；第三步：过 F 点作 FEBC 于 E；第四步：过 F 点作 FGBC 交 AB 于点 G；第五步：过 G 点作 GDBC 于点 D。四边形 DEFG 即为所求作的四边形 DEFG，为正方形。问题：（1）证明上述所求作的四边形 DEFG 为正方形；（2）在ABC 中，如果 ，BAC75，求上述正方形BCABC6345， DEFG 的边长。（江苏省扬州市中考题） A G F G F B D E D E C 12. 如图，在ABC 中， ，在 BC 上有 100 个不同的点AB52，过这 100 个点分别作
13、ABC 的内接矩形 P12310、 、 PFGE122，设每个内接矩形的周长分别为 ，则EFG0 L120、LL1210_。（安徽省竞赛题） A E2 F2 E1 F1 B P1 P2 G2 1 C 13. 如图，在ABC 中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC 的面积分别为 ，则ABC 的面积为_。20458022cmc、 、14. 如图，一个边长为 3、4、5 厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边 AD、DC 上，那么这个正方形的面积是_厘米2。（第 11 届“希望杯”邀请赛试题）15. 如图，将一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点连线对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ） A E D B F C A. 2：1 B. C. D. 1：131： 2：16. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，且 CD3AB，EFCD，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则 AE：ED 等于（ ） A B E F D C A. 2 B. C. D. 32512512【试题答案】1. 3：12. 9S3. 或27604. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方5. C 6. C 7
