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1、 12011 年中考数学动点问题典型案例分析专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例 1 )如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不
2、变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值范围).xyx x(3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2.321(2)在 RtPOH 中, , 26xPHO.23612xOHM在 RtMPH 中,. =GP= MP= (0AD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下 ,度量 AC、CB 、AD
3、、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、 E，则下列结论中正确的是（ * ）（A） （B）DEAECO1O2PB AD CBAEDC BAOFEO CBA 9（C） （D） 的大小不确定ABE,分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边，则OEOD3).动点 M，N 同时从 B 点出发，分别沿BA，BC 运动，速度是 1 厘米/秒. 过 M 作直线垂直于 AB
4、，分别交 AN，CD 于 P，Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动. 设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米，t=1 秒，则 PM=厘米； (2)若 a=5 厘米，求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN 的面积都相等?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完
5、美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围. 第(4) 小题是题 (3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4 )如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点 A、C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 RtACD
6、的直角边于H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成的图形 12面积为 S1，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为 S2(这里规定：线段的面积为 0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)，解答下列问题： (1)当 0X(2)若 y 是 S1 与 S2 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式； (图 10 为备用图) 求 y 的最大值. 解 (1)以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD 的边长为 82，所以 AC=16，过B 作 BOAC 于 O，则 OB=89，因为
7、 AE=x，所以 S2=4x，因为 HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 当 S1=S2 时， 4x=x(16-2x)，解得 x1=0(舍去)，x 2=6，所以当 x=6 时， S1=S2. (2)当 0x8 时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 当 8x16 时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以 S1=(16-x)(2x-16)， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0x8 时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50 ，所以当 x=5 时，y 的最大值为 50.
8、 当 8x16 时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当 x=13 时，y 的最大值为 82. 综上可得，y 的最大值为 82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2
9、，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）41y2若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C 、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况例 1 题图图 1OAByxOAByx图 2
10、13yxEQPC BO A2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习 1、已知抛物线 经过 及原点 2yaxbc53()02PE， (0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为 ）253yx（2）过 点作
11、平行于 轴的直线 交 轴于 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 下方的抛PxPCy PC物线上，任取一点 ，过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点，交直线 于 点，直线 与直QAxABQA线 及两坐标轴围成矩形 是否存在点 ，使得 与 相似？若存在，求出 点COBQOPC Q的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的 点在 轴的上方，连结 ，矩形 内的四个三角形x之间存在怎样的关系？为什么？OPQPA， 练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折痕 ，且5C
12、。3tan4ED（1）判断 与 是否相似？请说明理由；O ADE（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 14轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。例 1 如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下
13、列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（ cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APR PRQ ？分析:由 t2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得BPQ 的形状;作 QEBP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 = BPQE 可得BPQ21S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE,再由APR PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求.解:(1) BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=21=2,BQ=22=4,所
14、以 BP=AB-AP=6-2=4,即 BQ=BP.又因为B=60 0,所以BPQ 是等边三角形.(2)过 Q 作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2tsin600= t,3由 AP=t,得 PB=6-t,所以 = BPQE= (6-t) t= t2+3 t；BPQS21(3)因为 QRBA,所以QRC=A=60 0，RQC=B=60 0，又因为C=60 0,所以QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQcos600= 2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,21所以 EP=QR,又 EPQR,所以四
15、边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ= t,3由APR PRQ,得到 ,即 ,解得 t= ,RQPAtt26356所以当 t= 时, AP RPRQ.56点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例 2 如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，RtABC 90o6AB8CDE， ABC，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于 ，当点PDEPQQR RO xy练习 2 图C BED A 15与点 重合时，点 停止运动设 ， （1）求点 到 的距离 的长；QCPBQxRyDBCH（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；yx（3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的
