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1、概率论与随机过程第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3） 10 只产品中有 3 只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回） ，直到将 3 只次品都取出，记录抽取的次数。（4） 生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（5） 一个小组有 A，B，C，D，E5 个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务） ，观察选举的结果。（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取 4 只，观察它们具有哪几种颜色。（8
2、） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（9） 有 A，B，C 三只盒子， a，b，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。（10） 测量一汽车通过给定点的速度。（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。2. 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与 C 不发生。（2） A 与 B 都发生，而 C 不发生。（3） A，B，C 都发生。（4） A，B，C 中至少有一个发生。（5） A，B，C 都不发
3、生。（6） A，B，C 中至多于一个发生。（7） A，B，C 中至多于二个发生。（8） A，B，C 中至少有二个发生。3. 设 , ， ， ，具体写出下列各等式102,LS4,325,B7,6C（1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （5） 。A)(CBA4. 设 ， ， ，具体写出下列各式。x12x231x（1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。BAB5. 设 A，B ，C 是三事件，且 ， ， ，求)()(CPA0)()(CBPA81)(AA，B，C 至少有一个发生的概率。6. 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。（1） 求恰有 9
4、0 个次品的概率。（2） 至少有 2 个次品的概率。7.（1）在房间里有 500 个人，问至少有一个人的生日是 10 月 1 日的概率是多少（设一年以 365 天计算）？（2）在房间里有 4 个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？8. 一盒子中有 4 只次品晶体管，6 只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到 4 只次品管子都找到为止。求第 4 只次品管子在下列情况发现的概率。（1） 在第 5 次测试发现。（2） 在第 10 次测试发现。9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以 A，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知 ， ，求 ， 及
5、4.0)(BPA28.0)()/(BAP)/(。)(BAP10.已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。（2） 二只都是次品。（3） 一只是正品，一只是次品。（4） 第二次取出的是次品。11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？12.某工厂中，机器 分别生产产品总数的 25%，35%和 40%。它们生产的产品中分别有 5%，4%，2%321,B的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。
6、问这一次品是机器 生产321,B的概率分别是多少？13.将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01。信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2:1。若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？14.如图所示 1，2，3，4，5，6 表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 ，且设各继电器接p点闭合与否相互独立。求 L 至 R 连通的概率是多少？LR12345615. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7。飞机击中一次而被击落的概率
7、为 0.2，击中二次而被击落的概率为 0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。16. 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的概率质函数。17. （1）设随机变量 X 的概率质函数为 ， 为常数，试确定常数 。!kaXP0,21,0La(2) 设随机变量 X 的概率质函数为 ， ，试确定常数 。NN,18. 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号。 （1）进行了 5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 （2）进行了 7 次独立试
8、验，求指示灯发出信号的概率。19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（1）每分钟恰有 8 次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。20. 设随机变量 X 的分布函数为 .0,1)(xexF（1） 求 ， （2）求概率密度 。3,2XP)(xf21. 一工厂生产的电子管的寿命 X（以小时计）服从参数为 ， 的正态分布，若要求160,允许 最大为多少？80.210XP22. 设随机变量 X 的概率质函数为0 1 31kp5650求 的概率质函数。2XY23. 设 X 的概率密度为，求 的概率密度。其,0)(2xxf sinXY24. 设随机变量（X，Y）
9、的概率密度为 .,0,20,13),(2yxyxyf求 。1YXP25. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为其.,0,1)(xxf .0)(y,efY试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度。26. 设随机变量（X，Y）的概率密度为。),2exp(21),(yyxf yx,求 的概率密度。Z27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 分布，随机地选取 4 只，求其中没有一)20,16(N只寿命小于 180 小时的概率。28. 设随机变量 X 的概率质量函数为-2 0 2kp0.4 0.3 0.3求 。)(),(53E2229. 设 X 服从二项分布，其概率质量函
10、数为求 和 。.10.,21,0,)1( pnkpknPnL)(XE)(D30. 设 X 服从泊松分布，其概率质量函数为求 和 。.0,21,0,!Lkek )()(31. 设 X 服从均匀分布，其概率密度函数为求 和 。其0,)(，bxabxf )(XE)(D32. 设 X 服从正态分布，其概率密度函数为。 求 和 。xxf ,02-xep21)( 其 )(XE)(D33. 有 3 只球，4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4。将球独立地，随机地放入 4 只盒子中去。以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X=3 表示第 1 号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球） ，试
11、求 EX，DX。34. 对于任意两个随机变量 X，Y ，证明下式成立：（1） ；),(2)()( YXCovDD（2） 。, ECov35. 设随机变量 X 的概率密度函数为 。求（1）Y=2X ， （2） 的数学期望。0x,ef(x) xeY236. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为试确定出常数 ，并求 。其,x,y,xKy)f(x,01K)XY(E37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300，均方差是 700。 利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 52009400 之间的概率。38. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，其中 为常数。求 和 。0x,e)x(f
12、0)(XE)(D39. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，其中 为常数。求 和 。0,0),2exp()(xf0)(XE)(D40. 设随机变量 X 的概率质量函数为 ， 。其中 为常数，则称 X1kqXPL,pq,p1服从参数为 的几何分布。试求 和 。p)(E)(D41. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为. 。求 、 、208y,x,)yx(),(f )(XE)Y(。)Y,X(Cov42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数） ，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1） 若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 1
13、5 的概率是多少？（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90？43. (1)一个复杂的系统，由 100 个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有 85 个部件工作，求整个系统工作的概率。(2)一个复杂的系统，由 n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为 0.90。且必须至少有 80%部件工作才能使整个系统工作，问 n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。44. 某个单位设置一电话总机，共有 200 架电话分机。设每个电话分机有 5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以 90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
