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1、咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)常微分方程在数学建模中的应用The application of ordinary differential equations in mathematical modeling作者姓名：薛钊专业名称：数学与应用数学学科门类：理工指导老师：李长涛提交论文日期：2014 年 5 月成绩评定：咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)摘 要随着科学技术的日益发展，数学以空前的广度和深度向其他领域渗透，特别是由于计算机的快速发展，人们开始更多的通过数学建模来研究客观世界中的事物。当人们在研究事物的某些特性
2、在时间和空间上的变化规律时，需要建立对象的动态模型，其中很多动态模型是以微分方程的形式给出的，所以微分方程是很重要、很有效的工具之一。微分方程全面、深刻的揭示了事物的动态关系，通过建立这样的微分方程模型，我们可以掌握现实对象的发展规律并预测事物的未来发展。本文介绍了常微分方程的发展和数学建模，并结合其特点举出两个不同领域的常微分方程模型的例子，总结出常微分方程在实际建模中的应用和作用，揭示建立常微分方程模型的特点和注意事项。关键字：数学建模；常微分方程咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)IAbstractWith the increasing development of scien
3、ce and technology, mathematics with an unprecedented breadth and depth of penetration to other areas, especially due to the rapid development of computer, people began to more through mathematical modeling to research the objective things in the world.When people in studying the characteristics of s
4、ome of the things in time and space change rule, need to establish a dynamic model of the object, including many dynamic model is obtained in the form of differential equation so the differential equation is one of the very important and very effective tool.Differential equation of the comprehensive
5、 and profound reveals the dynamic relationship of things, and by establishing the differential equation model, we can take the real object of the law of development and predict the future development of things. This paper introduces the development of the ordinary differential equation and mathemati
6、cal modeling, and combined with its characteristic point to two different areas of the examples of ordinary differential equation model, summed up the application of ordinary differential equations in the actual modeling and role, and reveals the characteristics of the ordinary differential equation
7、 model is established and the matters needing attention.Key words: mathematical modeling; ordinary differential equation咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)II前 言由于常微分方程理论的发展和日臻完善，常微分方程作为在数学建模中的一种工具具有很重要的作用。特别是在进入 21 世纪以来，随着信息时代的到来，计算机得到了广泛普及，使用计算机软件进行数学建模已成为人们研究客观规律的首选，使得常微分方程在不同领域的建模中发挥重大作用。本文就是通过研究举例不同类型的常微分方程
8、模型，讨论了它应用的广泛性。由于笔者的水平有限，对常微分方程模型的认识有限，希望读者对存在的问题和纰漏给予指正。咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)III咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)第 页目 录摘要IAbstractII前言III1 常微分方程发展简介1咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)第 页咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)第 页第 0 页1 常微分方程发展简介1.1 常微分方程的产生常微分方程是指含有一个自变量及未知函数的导数或微分的方程，它诞生于 17 世纪，是牛顿在建立微积分的同时研究了微分方程的求解。后来许多数学家都对其理论的完善做
9、出了贡献，例如莱布尼茨给出求解微分方程的分离变量法，伯努利给出伯努利方程的解法，欧拉和克莱罗给出积分因子法，拉格朗日提出参数变易法等等，特别是柯西严格证明了一类初值问题解的存在唯一性定理，使得常微分方程在力学、天文学、物理学等领域发挥了巨大作用。1.2 常微分方程近期发展常微分的形成和发展与其他应用学科的发展密切相关，同时，数学其他分支如复变函数、李群、组合拓补学等都对其产生了深刻的影响。从 20 世纪中期以来，科学技术飞速发展，常微分方程无论是在理论上还是在应用上都有了长足的发展。首先是与数学的其他分支的促进和渗透越来越明显，其他分支的发展使常微分方程的发展有了新思路和新工具，一定程度上拓宽
10、了常微分方程的研究领域。其次，常微分理论研究开始向四个趋势发展，分别是向高维与抽象化方向发展；由理论定义的动力系统向抽象空间的动力系统发展；由实域上定性理论向复域上定性理论发展；从二维平面的一维曲线向高维空间曲线、曲面发展。最后，在应用方面，常微分方程的发展使得在实际生活应用中取得很多新成果，产生了很多新的方法。比如利用计算机进行数值求解和数值模拟等，在工程技术和金融数学等新领域上得到更有效的应用。常微分的发展使得很多学科领域的问题转化为数学问题得以解决，例如在物理领域中弹道的计算、电子学装置的设计，化学领域中研究化学反应过程中的稳定性，在经济学中研究经济的增长等。应该说，常微分的发展奠定了各
11、学科的发展，同时由于研究的需要，常微分理论不断发展，日渐趋于完善。2 数学建模简介咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)第 页第 1 页2.1 数学模型1 模型的概念模型指人们为了某种特定目的对原型所做的抽象，它是针对现实原型而言的，是对现实问题的一个模拟，它是将原型的某些信息简缩、提炼的原型替代物。模型是现实对象的近似反应，这里对原型的简化是去除那些偶然的、非本质的信息，保留反应现实对象的必要信息和基本属性的东西。例如绘制一个城市的地图，在这个模型中，建筑物树木的形状是次要的，这个城市有多少人口、有多少车辆也不重要，但城市的主要街道和基本的城市布局得在地图上反应出来。在比如对于参加航
12、模比赛的模型飞机，它要求的是飞机要有良好的飞行性能，所以对飞机的外形和颜色可以忽略，重要的是飞机要像现实飞机一样要有基本的动力装置，能真实反应飞机的飞行动态特性，所以，模型是对原型的升华和抽象，它不是单纯的模仿，是对现实对象进行精简和归纳。模型可以分为物质模型和理想模型，物质模型又分为直观模型、物理模型等；理想模型分为思维模型、符号模型、数学模型等。数学模型是模型的一种，是为了描述现实对象的规律而建立的数学公式、图形和算法，它是由数字、字母和其他数学符号组成的。2 数学模型形成的一般过程数学模型在实际生活中大量存在，如在小学大家听过曹冲称象的故事，在中学数学课本中学过鸡兔同笼的命题，通过建立一
13、个二元一次方程组解决实际问题，还有所谓的航行问题，在大学课本里，也存在大量的数学模型，如求图形的面积，可建立定积分的数学模型，求图形变化率的问题可建立导数模型，概率统计学中抽样调查，假设性检验问题等等。举个简单的例子：航行问题：A、B 两地相距 100，船从 A 到 B 顺水需要 2 小时，从 B 到 A逆水需要 5 小时。问船航行的速度和水的速度各是多少？解：设船速和水速分别为 x 和 y，假设船在航行过程中速度保持不变，水速 保持不变，则由条件知（x+y）2=100 (x-y)5=100咸阳师范学院 2014 届本科毕业论文（设计)第 页第 2 页解得 x=35/h y=15/h这就是航行
14、问题的数学模型，虽然现实世界的数学模型很复杂，但在这里这个简单的模型基本反应了建立数学模型的基本内容：第一步，根据建立数学模型的目的，对问题做出必要的简化，把实际问题中的主要因素找出来加以量化。第二步，符号化，使用数学的理论方法建立数学模型，具体表现在利用相关学科的一般规律，列出数学式子，把实际问题转化为一个数学问题，通过求解数学问题得到答案。第三步，通过实际现象验证结果，在实践中去检验，这是一个实践理论实践的环节，通过以上问题，我们也可以将数学模型一般的描述为为了某种目的而研究的现实对象，根据其特有的规律，作出些必要的简化假设，用适当的数学工具而得到的一个数学结构。一个科学的数学模型可以反应
15、原型的内在性质和数量关系，它通过抽象简化，用数学语言刻画了现实对象的本质，所以人们可以更深刻的认识到问题的本质，其原因是：首先，数学模型是一个模型，是经过分析、提炼、归纳、升华的结果。其次，它用数学语言精确描述了原型的内在特征，通过演绎推理，使得人们认识到原型的本质特征和数量关系。例如，牛顿在建立牛顿第二定律时，仅考虑物体质量 m 和它在时刻 t 的加速度和外力 F 三个主要因素，忽略了物体的质地、大小、形状等次要因素。深化了人们对运动与力的本质认识，从而获得了广泛应用。3 数学模型的基本特性（1）实践性 数学模型来源于实际，最后得出的结果正确与否还得在实际中检验。（2）实用性 好的数学模型必须符合建立模型的基本要求，而且要实用、切实可行，在模型求解后还得讨论条件，给出原型的答案，以便使用者使用。（3）综合性 数学模型的建立是综合性的，在建模的初期必须考虑原型涉及的学科的所有特点，综合运用学科知识，这就要求建模者有较宽的知识面。3 常微分方程模型数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空
