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1、信号与线性系统题解 阎鸿森 第九章 习题答案9.1 如图 P9.1 所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中 是低通，截止频率为)(1H； 是高通，截止频率为 ：1c)(2H2c(a)当 时，试证明，图 P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽c度。（b）当 时，1c2otherwisHcc0)(12故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为： 。21cB)(1H)(1)(1H)(2 （b）当 时，1c2，otherwisHcc0)(21故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为： 12cB（c）数字滤波器结果与上类似。9.2 图 P9.2 中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤
2、波器，反之亦然。(a) 证明当 是截止频率为 的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高)(Hp通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。（b）如果 是一个截止频率为 的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理)(p想低通滤波器。并确定其截止频率。（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图 P9.2 联接，所组成的系统是理想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？图 P9.2解：（a） 是低通滤波器，截止频率为Q)(Hpotherwisp01整个系统的频率响应为：terisHp)(1)(故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为： tthpp)in()(其波形如图所示。)(H)(
3、tx )(ty（b） 是高通滤波器，截止频率为Q)(Hpotherwis01整个系统的频率响应为：terisHp)(1)(故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为 。p（c）是。9.3 某模拟低通滤波器的幅频特性如图 P9.3 所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。（a） =0)(H（b） =T，其中 T 为常数（c） = )(0,2/解：（a）若 =0，则有：)(Htthcasin波形如图所示：（b）若 =T,则有：)(HTjae)(sin)()tthtcab 图 9.3（c)如 = ，则)(H0,2/)()(acj可视为如下的卷积：c)2()2(*
4、)2()( ccacjH/sin)(tthcc9.4 若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为 ，频率响应如图 P9.4 所示。另)(nh一个新的滤波器的单位脉冲响应为 ，且)(1为 奇 数 为 偶 数nh,0)2/()1试确定并粗略画出新滤波器的频率特性 。指出它属于哪一种滤波器（低通，)(1jeH高通，带通，带阻） 。解： ,其频谱如下所示,它是一个nnjnjjj eHheheH)()()( 2211 带阻滤波器。)(j2cc 1 )(j2cc 1 29.5 在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是
5、可能的。如果要处理的序列 是有限长的， 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响)(nx)(nh应，且 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且 为实序h )(nh列，则可以通过以下两种方法实现对 的零相位过滤。)(x（a）按以下三步进行，如图 P9.5(a)所示。（b）按以下三步进行，如图 P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入 到输出 的整个系统的系统函数，单位脉冲)(nx)(y响应，并证明该系统具有零相位特性。(1) )(g (1) )(ng )(nx )(x(2) (2) )(g)(nr)(nx)(r(3) (3) )(rny )()(ngy(a) (b)图
6、 P9.5解：（a）由图 P9.5(a）可知：)()(HXG又 的傅立叶变换为Qng)(G的傅立叶变换为)(r )()()HXHR()()XY又 )(nh为实序列，则：2*)()(HH故系统函数为：21)()()(h)(h)(H)()(twstx)(tsy单位冲激响应为： ，它具有零相位特性。)(*)(1nhnh(b）由图 P9.5(b）可知：)()(HXGR)()()()( HXY又 nh为实序列，则 ：Q*)(Re2)()()( *2 H这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为：21)()(单位冲激响应为： 。)(2nhnh9.6 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个
7、加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设 是一个复合信号，)(tx。我们希望设计一个 LTI 滤波器，从 中分离出 ，如图)()(twstx t)(tsP9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应 应使 )(y是对 较好的近似。)(H假定用 作为 )(ty与 之间误差的度量，定义为)(s2)(YS其中 和 分别是 和 的傅立叶变换。)(SY)(tsy（a） 用 ， 和 表示 。其中 。HW)()()(twFW（b） 限定 为
8、实函数，因此 。通过使 对 的导数)( *HH为零，确定使误差 为最小的 。)()(（c） 证明：如果 和 不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。S（d） 如果 与 如图 P9.6(b）所示，根据（ b）的结果，确定并概略画出)()(W。)(H(a)(b)图 P9.6(a) 由图 p9.6(a)可得：)()()( HWSHXY故有：)()()(S22 )(SY（b） )(Re2)()()( *2 HWSWSH= Re)(*2HS令： 得：0)(0)(Re)(2)(2 *2WSWSH2*2)(Re)(S如果在某一个频率 处有 ，则此时 ，从而有0 000)(X。对此频率来说， 可以取任意
9、值。0)(Y)(H1-2 20)(S)(W-1 110（c） 如果 和 不重叠，则 。)(S)(W0)(WS设 在区域 为非零， 在区域 非零，则：AB当 时， ；)(,0)(当 时， 。BS在此情况下， 具有如下特性：)(H当 时， ；0,WS 1)(2SH当 时， ；)(,)(0当 时， 可为任意值，当然可以规定为 。0S)( 0)(H由以上讨论可见， 在 与 不重叠时，具有理想滤波器特性。)(HS)(W（d）根据图 p9.6(b)和（b）的结果可得：201)(H9.7 题 9.6 讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试
10、对离散时间的情况，导出与题 9.6（b ）中所得结果相对应的结果。分别用 ， ， ， 和 代替题 9.6 中的 ，)(SW)(HY)()(S， ， 和 有：)()()(SXYHS2)()()(W-2 -1 0 1 21 0.5 )( 假定 为实函数，相应有：)(H)(Re)(2)()()( *22 WSHWSS 令 ，得：0)(H2*2)(ReS同样， 如果在某一个频率 处有 ，则此时 ，从而有00)(WS0)(X。对此频率来说， 可以取任意值。0)(Y)(H9.8 在许多滤波器应用中，往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的
11、冲激响应始终非负时，可以消除过冲现象。（a）证明：如果连续时间滤波器的 始终大于或等于零，即 ，则该滤波器)(th0)(th的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。(b) 证明：如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即 ，则)(n其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。解：(a)设 为连续时间 LTI 滤波器的阶跃响应，则有：)(tsdtsh)(因此，当 时，有 ，这表明 是单调非减的函数，因而不会00)(ts)(ts发生过冲。（b）设 为离散时间 LTI 滤波器的阶跃响应，则有：)(ns)1(nsh因此，当 时，有 ，这表明 是单调非减的函数，0)0)1(ns)(ns因
12、而不会发生过冲。9.9 对因果的离散时间 LTI 系统，试推导出其频率响应的实部和虚部之间的依从关系。即离散时间的实部与虚部自满关系。解: 设因果系统的单位脉冲响应为 ,则根据系统的因果性,有:)(nh)()(nuh对上式两边同时取傅立叶变换,有: dkeHe kjjj2)( )2(1)(1)(整理后有:2)()()( djjj令: ,带入上式并整理后有:IRjje 2 2)2(1)2(1 dctgHjdctgHjH RIIRIR所以:2)2(1;dctgRII IR9.10 对图 P9.1 所示归一化滤波电路，分别求出其去归一化的实际元件参数，已知工作频率 ，负载电阻 。sradc/06K1
13、0解: 由公式 9.24,9.26,9.28 得实际阻抗和归一化阻抗,实际感抗和归一化感抗,实际容抗和归一化容抗间满足如下关系:CRCLRLkRcc 9000 1,1.),( (a) ;kFCHL,3/*4,15. 921(b) kLL1,*5.0.0*99;)(c RFCHL L,00,1,6/. 943921(d) kFC.,1.04. 999.11 设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为：, , , KHzfp2dBAp3crf2dBAr30要求得到归一化滤波器的系统函数 和归一化电路及归一化元件参量。,)(sa解：（1）根据技术指标知此时 ，对阻带频率归一化可得：cpf2prrf
14、（2）查图 9.8(b)可得 5 阶巴特沃思模拟低通滤波器满足 时，2r的要求，故定阶为 。dBAr305n（3）查表 9.1 可得 5 阶巴特沃思模拟低通滤波器归一化系统函数为：1236.236.1)(4 sssHB（4）查表 9.2 可得归一化电路结构和元件参量如下图所示。其中， 618.0,.1,0.2,618.,0. 54321 CLCLC9.12 设计一个巴特沃思模拟低通滤波器，技术指标为：dBAkHzfdBAkHzf rrpp ,;, 要求得到归一化滤波器的系统函数，并求出该滤波器的 3dB 带宽。解：（1）根据 9.32 式确定滤波器的阶数 。n2893.4)lg()10/1l.0prAAprn取整数后为： 。5n（2）确定 3dB 带宽阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给阻带，则将阶数 代入公式 9.30 得：n)(1lg0)(1lg0102cpncpp fA代入数据后解得：KHzfc46.阶数取整数后滤波器有富裕量，将其留给通带，则将阶数 代入公式 9.31 得：n)(1lg0)(1lg0102crncrr f
