《微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分几何主要习题解答1第一章 曲线论2 向量函数5. 向量函数 具有固定方向的充要条件是 = 。)(tr )(tr)(t0r分析：一个向量函数 一般可以写成 = 的形式，其中 为单位t e)(te向量函数， 为数量函数，那么 具有固定方向的充要条件是 具有固定方)(t)(tr r向，即 为常向量， （因为 的长度固定） 。ere证 对于向量函数 ，设 为其单位向量，则 = ，若 具有固)(tr)(tr )(tr)(ter)(tr定方向，则 为常向量，那么 = ，所以 = （ ）= 。)(ter)(ter0反之，若 = ，对 = 求微商得 = + ，于是0r)(tr rerr = （ ）= ，
2、则有 = 0 或 = 。当 = 0 时， = 可与任r2er er0)(t)(t意方向平行；当 0 时，有 = ，而（ = -( ， （因r r2er2er为 具有固定长， = 0） ，所以 = ，即 为常向量。所以， 具有固erer er )(t定方向。6向量函数 平行于固定平面的充要条件是（ ）=0 。)(tr r分析：向量函数 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 ，使)(tnr = 0 ， 所以我们要寻求这个向量 及 与 ， 的关系。)(trnnrr证 若 平行于一固定平面 ，设 是平面 的一个单位法向量，则 为常)(tr r向量，且 = 0 。两次求微商得 = 0 ， = 0
3、，即向量 ， ， 垂rrn直于同一非零向量 ，因而共面，即（ ）=0 。nr反之, 若（ ）=0，则有 = 或 。若 = ，由上题 rr0知 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 ，则存在数量函数)(tr 微分几何主要习题解答2、 ，使 = + )(ttrr令 = ，则 ，且 。对 = 求微商并将式代入得nrn0)(tnrr= = （ ）= ，于是 = ，由上题知 有固定方向，而rr0nr ，即 平行于固定平面。)(tr)(t3 曲线的概念1求圆柱螺线 = ， = ， = 在（1,0,0）的切线和法平面。xtcosytinzt解 令 =1, =0, =0 得 =0, (0)= - , ,1|
4、 =0,1,1,曲tsinrtsinco0t线在(0,1,1)的切线为 ，法平面为 y + z = 0 。10z2求三次曲线 在点 的切线和法平面。,32ctbar0t解 ，切线为 ，,)( 200ttr 20302ctzbtyax法平面为 。)(3)(3202000cztbtytatx3. 证明圆柱螺线 = a ,a , ( )的切线和 z 轴作rcosinbp固定角。证明 = -a ,a , ,设切线与 z 轴夹角为 ,则 =rsin cos为常数，故 为定角（其中 为 z 轴的单位向量） 。2|baerk kr4. 求悬链线 = ， （- ）从 =0 起计算的弧长。rtatcoshptt
5、解 =1， ，| |= = ，atsinrat2sinh1atcosh。ttatdhcos0求曲线 在平面 与 y = 9a 之间的弧长。223,xzyx3a微分几何主要习题解答3解曲线的向量表示为 ，曲面与两平面 与 y = 9a 的r2,3xa3a交点分别为 x=a 与 x=3a , ， ，所求弧长为r2,1xar41xa2x。dsa9)(2310. 将圆柱螺线 =a ，a ，b 化为自然参数表示。rtcostin解 = -a ,a ,b，s = ，所以 ，rtsin tbadrt 20| 2bast代入原方程得 =a , a , co2in2s2s11.求用极坐标方程 给出的曲线的弧长表
6、达式。)(解 由 ， 知 = - ，cos)(xsinyr)(cosin)()(+ ，| | = ，从 到 的曲线的弧长是 s=sincos)(r)()(220 0。22d4 空间曲线1求圆柱螺线 =a ， =a ， = b 在任意点的密切平面的方程。xtcosytsinzt解 = -a ,a ,b, =-a ,- a ,0 rinrcosin所以曲线在任意点的密切平面的方程为= 0 ，即(b )x-(b )y+az-abt=0 .sincosiitattztytxtsitcos2. 求曲线 = t ,t ,t 在原点的密切平面、法平面、从切面、ricose微分几何主要习题解答4切线、主法线、
7、副法线。解 原点对应 t=0 , (0)= +t , - t , +t =0,1,1，rtsintcosine0t2 + t , - t ,2 +t =2,0,2 ， )0(rcosce0t所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；10x密切平面方程是 =0 ，即 x+y-z=0 ，2z主法线的方程是 即 ；0zyx1zyx从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式 。3证明圆柱螺线 =a ， =a ， = b 的主法线和 z 轴垂直相交。xtcosytsinzt证 = -a ,a ,b, =-a ,- a ,0 ，由 知 为rtsintrtcotsinrr主法线的方向向量，而
8、所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是r0ksincostztytx与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。4.在曲线 x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解 = -cos sint, cos cost, sin , = -cos cost,- cos sint , 0 r rsin sint ,- sin cost , cos |r新曲线的方程为 = cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + cos 对于新曲线
9、 =-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint，sin =sin( -rt), cos( -t), sin , = -cos( -t), sin( -t),0 ,其密切平面的方r微分几何主要习题解答5程是 0)sin()cos( sincoinitataatzytx即 sin sin(t- ) x sin cos(t- ) y + z tsin cos = 0 .5证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径 具有固定)(tr长，所以 = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲
10、线在每一点的法平r面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。r)(tr方法二：是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的()t0r半径）使 ，即 （）20rR()r0()r而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面)t r中心 （）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。6.证明过原点平行于圆柱螺线 =a ，a ，b 的副法线的直线轨迹rtcostin是锥面 .22)(bzyxa证 = -a ,a , , =-a ,- a ,0 ，
11、=rtsintcortcstir为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是,co,sintb，消去参数 t 得 。aztytxi 22)(bzyx7求以下曲面的曲率和挠率微分几何主要习题解答6 ,sinh,coattar 。)0(3()3(2f解 ， ，,cosh,sin attr 0,sinh,co tatr， ，所以0,cosh,in tar 1 arttk 2323 cosh1)s(|。tatar 2242)(, ， ，1,3 1,06,16 artr = ，r ,2182tta 2323 )()(78| ttk。224232 )1()1(6)(, tatar8已知曲线 ，求基
12、本向量 ；曲率和挠率；cos,incs3ttr r,验证伏雷内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 ，4,sin3cosin2si,cosin3,co 22 tttttr（设 sintcost0） ， 则 ，,sin5|)(| ttdsr 5,i,5|tr， ，0,cos53,incosi1ttstr 0,cosin|tr，,4,5 ， ，由于 与 方tkcosin23|r 0,cos,incosi254ttr r微分几何主要习题解答7向相反，所以 tcosin254|r 显然以上所得 满足 ，而,rkrr,k也满
13、足伏雷内公式 。r 0,sicosin51tt9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线r)(t在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以)(trtr，可见 ，所以 具有固定方向，故 是直线。)(trt r)(t方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任tr意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，)(trtr )(tr于是 ，从而 ，所以由曲率的计算公式知曲率 k，所以曲线r0为直线。方法二：设定点为 ，曲线的方程为 ，则曲线在任意点的切线方程是0rr()s，由条件切线都过定点
14、 ，所以 ，两端求导得: ()rs00()rs, 即 ，而 无关，所以 ，r(1)srr,10可知 ，因此曲线是直线。0,()s10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线r)(t在任意点的密切平面的方程是 ，由条件0)()(trttr，即（ ）=0，所以 平行于一固定平面，即 0)()trtr r是平面曲线。t微分几何主要习题解答8方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ，则曲线在任r)(s意点的密切平面方程是 ，由条件 ，两边微分并用伏雷内0)(rrs0)(rs公式得 。若 ,又由 可知 ,所以 0)(rs)(sr)(srr平行于固定方向，这时 表示直线,结论成立。否则 ，从而知曲线)(srr)(s是平面曲线。
