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1、高等数学（下）知识点第 1 页 共 22 页高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数 向量及其线性运算1向量，向量相等，单 位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2线 性运算：加减法、数乘；3空 间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4利用坐 标做向量的运算：设 ， ，),(zyxaar ),(zyxbbr则 , ； ),( zyxbbar ,za5向量的模、方向角、投影：1向量的模： ；22zyxr2两点 间的距离公式： 212121 )()()( zyxBA3方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ,4方向余弦： rzryrxcos ,cos ,cos1sscos
2、2225投影： ，其中 为向量 与 的夹角。coPrajuraru 数量积，向量积1 数量 积： cosbabarr1）2rr2） ba0bar高等数学（下）知识点第 2 页 共 22 页zyx babar2 向量 积： crr大小： ，方向： 符合右手规则sinbacbar,1） 0rr2） ba/0rbazyxbbkjirr运算律：反交换律 barr 曲面及其方程1 曲面方程的概念： 0),(:zyxfS2 旋 转曲面：面上曲线 ，yoz ),(:zyfC绕 轴旋转一周： 0),(22zxf绕 轴旋转一周：z ),(22yf3 柱面：表示母线平行于 轴，准线为 的柱面0),(yxFz0),
3、(zyxF4 二次曲面高等数学（下）知识点第 3 页 共 22 页1 椭圆锥面：222zbyax2 椭 球面： 1222czyx旋转椭球面： 222czayx3 单 叶双曲面： 1222czbyx4 双叶双曲面： 222czyax5 椭圆 抛物面： zbyx226 双曲抛物面（马鞍面）： zyax227 椭圆 柱面： 122byax8 双曲柱面： 22yx9 抛物柱面： ayx 空间曲线及其方程1 一般方程： 0),(,zyxGF高等数学（下）知识点第 4 页 共 22 页2 参数方程： ，如螺旋线：)()(tzytxbtzaytxsinco3 空 间曲线在坐标面上的投影，消去 ，得到曲线在面
4、 上的投影0),(,zyxGFzxoy0),(zyxH 平面及其方程1 点法式方程： 0)()()( 00 zCyBxA法向量： ，过点,Cnr ,zx2 一般式方程： Dzyx截距式方程： 1cba3 两平面的夹角： ， ，),(11CBAnr ),(22CBAnr222121cosBA21 02122C21/ 212BA4 点 到平面 的距离：),(00zyxP 0DzByAx22CBADd 空间直线及其方程高等数学（下）知识点第 5 页 共 22 页1 一般式方程： 02222 1111 DzCyBxA2 对 称式（点向式）方程： pznym0方向向量： ，过点),(pnsr ),(00
5、zx3 参数式方程： ptzytx004 两直 线的夹角： ， ，),(11nmsr ),(222pnmsr222121cos ppnm21L0212221/ 212pn5 直 线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2222sin pnmCBA/L0pnm第八章 多元函数微分法及其应用 基本概念高等数学（下）知识点第 6 页 共 22 页1 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2 多元函数： ，图形：),(yxfz3 极限： Ayxylim),(),(04 连续 ： ),(),0),(),(0 yxff5 偏 导数： xyfyxfy
6、xfx ), (), (lim),( 0000 yfffyy ),(),(li),( 00006 方向 导数： 其中 为 的方向角。coscosyfxflf,l7 梯度： ，则 。),(fz jyxfiyxfyxgradf yrr),(),(),( 0008 全微分：设 ，则,yxfdzz 性质1 函数可微，偏 导连续，偏 导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 2234高等数学（下）知识点第 7 页 共 22 页2 闭 区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3 微分法1 定 义： ux2 复合函数求导：链式法则 z
7、若 ，则 (,)(,)(,)zfuvxyvxyvy，zxxzuzv3 隐 函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） 应用1 极 值1 无条件极值：求函数 的极值),(yxfz解方程组 求出所有驻点，对于每一个 驻点 ，令0yxff ),(0yx， ， ，),(0xfA),(0yxfB),(0yxfCy 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值； 若 ，函数没有极值；02BA 若 ，不定。C2 条件极值：求函数 在条件 下的极值),(yxfz 0),(yx令： Lagrange 函数),(),(fyxL解方程组 0),(yxx高等数学（下）知识点第 8 页 共 22 页2 几何 应用1
8、 曲 线的切线与法平面曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的)()(:tzytx),(0zyxM0t切线方程为： )()()( 000 tztytx法平面方程为： 0)()00 ztzyyx2 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：0),(:zyxF),(0zyxM0)(,(),(,( 0000 zyxFzyxFzyx法线方程为： ),(),(),( 000000 zyxzzyx 第九章 重积分 二重积分1 定 义： nk kkDfyxf 10),(limd),( 2 性 质：（6 条）3 几何意义：曲顶柱体（以 D 为底，以曲面 为顶）的体积。(,)zfxy4 计 算：1
9、 直角坐标高等数学（下）知识点第 9 页 共 22 页，bxayyxD)()(,(2121()(,)dd,)dxaDfxyfy，dycxyx)()(,(2121()(,)d,)dycDfxyfx2 极坐 标)()(,(2121()(,)dcos,in)dDfxydf 三重积分1 定 义： nk kkvfvzyxf 10),(limd),( 2 性 质：与二重积分类似3 物理意义：立体 （密度为 ）的质量(,)fxyz4 计 算：1 直角坐标-投影法Dyxz zfvzyxf ),(,21 d),dd),(-截面法Zba yxzyfzf ),(),(2 柱面坐标高等数学（下）知识点第 10 页 共
10、 22 页，zyxsinco(,)d(cos,in,)dfxyzvf zz3 球面坐标cosinicossrzyrx 2(,)d(sinco,sin,cos)indfxyzvfrrrr 应用曲面 的面积：DyxfzS),(),(: yyzxADd)()(122第十章 曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积 分1 定 义： 01(,)dlim(,)niiLifxysfs2 物理意义：曲线 L（线密度为 ）的质量,fxy3 性 质：1） (,)(,)d(,)d(,)d.L LLfxyxysfxysgxys 2） 1 2(,)d(,)(,).LLLfsff ).(21高等数学（下）知识点第 11 页 共
11、 22 页3）在 上，若 ，则L),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LLfxysgxys4） ( l 为曲线弧 L 的长度)sLd4 计 算：设 的参数方程为 ，则L )(),ttyx22(,)d(,()()d ,()Lfxysftttt 对坐标的曲线积 分1 定 义：设 L 为 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数 ，xoy ),(yxP在 L 上有界，定义 ，),(yxQ nk kkL xPxyP10),(limd),( .nk kkL Qy10),(limd),( 向量形式： LL yxyxPrFd),(d),(2、物理意义：变力 沿曲线 L 所做的功,)u3、性质： 用 表
12、示 的反向弧 , 则L LL ryxFryxFd),(d),(rr4.计算：设 的参数方程 为 ，则L ):(),tyx(,)d(,d(),()(),()d LPxyQxPtttQttt 两类曲线积分之 间的关系：高等数学（下）知识点第 12 页 共 22 页设平面有向曲线弧为 ， 上点 处的切向量的方向角为：)( tyxL为L),(yx， ， ，, )()(cos22tt )()(cos22tt则 .dcs)dLLPxQyPQ 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向 曲线 L 围成，函数 在 ),(),(yxQPD 上具有连续一阶偏导数, 则有 LD xyxPxQdd2、 为一个
13、单连通区域，函数 在 上具有连续一阶偏导数，则G),(),(yPG曲线积 分 在 内与路径无关yPxQdLxQ曲线积分 0LPy在 内为某一个函数 的全微分xyxd),(d),(G),(yxu 对面积的曲面积 分1 定 义：设 为光滑曲面，函数 是定义在 上的一个有界函数，),(zyxf 定义 iiini SfSzyxf ),(lmd),(102、物理意义：曲面 （面密度为 ）的质量,fxyz3、计算：“一投二代”， ，则),(:yxzxyD),(高等数学（下）知识点第 13 页 共 22 页yxzyxzyxzfSzyxf yDyx d),(),(1),(,d),( 22 对坐标的曲面积 分1 预备 知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2 定 义：设 为有向光滑曲面，函数 是定义在 上的有界函数， ),(),(),( zyxRzyxQzyxP定义 01(,)dlim,niiiixyiRxyzRS同理， 01(,)l(,)(niiiiyziPP 01(,)dli(,)(niiiizxiQxyzxRS3、物理意义：单位时间内流体（流速 ）流向曲面 指定侧的流量,vPQRr4、
