《【人教B版】选修2-2：1.3.2《利用导数研究函数的极值》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教B版】选修2-2：1.3.2《利用导数研究函数的极值》ppt课件（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 导数及其应用 第一章 数的应用 第 2课时 利用导数研究函数的极值 第一章 课堂典例探究 2 课 时 作 业 3 课前自主预习 1 课前自主预习 苏轼 题西林壁 中的诗句 “ 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ” ，描述的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点 那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 2函数最大值、最小值的定义是什么？ 答案： f(x)0可得函数的增区间，由 f(x)f(则称函数 f(x)在点 作 f(并把 f(x)的一个极小值点 极大值与极小值统称为极
2、值，极大值点与极小值点统称为极值点 注意： ( 1 ) 函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点 在点 (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值 (3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 (4)若 f(x)在 (a， b)内有极值，那么 f(x)在 (a， b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值 2极值与导数的关系 如图 (1)，若 在 f(x)只能是增函数，即 f (x)0，在 f(x)只能是减函数，即f (x) 0 . 综合以上情形，可以得
3、到：若 f ( 0 ，且在 f ( x ) 的导数异号，则 f ( x ) 的极值点， f ( 是极值若f ( x ) 在 左正右负 ” ，则 f ( x ) 的极大值点，f ( 是极大值；若 f ( x ) 在 左负右正 ” ，则 x ) 的极小值点， f ( 是极小值 注意： 可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点即 “ 点 f ( x ) 的极值点 ”是 “ f ( 0 ” 的充分不必要条件不可导的点可能是极值点也可能不是极值点例如： 导数为 0 的点是极值点： y y |x 0 0 ， x 0 是极值点 导数为 0 的点不是极值点： y y |x 0
4、0 ， x 0 不是极值点 不可导的点是极值点：y | si n x |， x 0 不可导，但 x 0 是极值点 3 利用导数求函数极值的方法步骤 ( 1 ) 求导数 f ( x ) ； ( 2 ) 求方程 f ( x ) 0 的所有实数根； ( 3 ) 观察在每个根 左到右导函数 f ( x ) 的符号如何变化 如果 f ( x ) 的符号由正变负，则 f ( 是极大值； 如果由负变正，则 f ( 是极小值 如果在 f ( x ) 0 的根 x f ( x ) 的符号不变，则 不是极值点 f( 0是函数 f(x)在 ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
5、答案 D 解析 当 f ( x ) 0 时，必须 f ( x ) 在 x 0 的左右两侧异号才能在 x 0 处取得极值；反之，当函数 f ( x ) 在 x 0 处取得极值时，也可能 f ( x ) 在 x 0 处不存在导数，所以也不一定有 f ( x 0 ) 0. 所以 f ( x 0 ) 0 是函数 f ( x ) 在 x 0 处取得极值的既不充分也不必要条件，故选 D. 二、函数的最大值与最小值 1 利用导数求函数最值的方法 函数 f ( x ) 在闭区间 a ， b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在 a ， b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取
6、得 例如，如图，曲线为函数 f ( x ) 的图象，定义域为 a ， b ，则易得f ( ， f ( 是极大值， f ( ， f ( ，f ( 是极小值，比较极大值及端点的函数值知函数的最大值是 f ( b ) ，比较极小值及端点的函数值知函数的最小值是 f ( 注意： (1)求可导函数 y f(x)在 a， b上的最大值，最小值步骤： 求 f(x)在开区间 (a， b)内所有使 f (x) 0的点； 计算函数 f(x)在区间内使 f (x) 0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 (2)若函数 f(x)在闭区间 a， b上是单调函数，则可直接利用单调性法求函数的
7、最值，即若 f(x)在 a， b上递增，则 f(x)的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)；若 f(x)在 a， b上递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b) 2极值与最值的关系 (1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是函数在某一点及其附近的局部性概念，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较 (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值 (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不
8、一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值 ( 4 ) 开区间上的连续函数不一定有最值例如 y 10 , 1 ) 上是连续的，如图，但在该区间上，函数 y 1 ( 5 ) 求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为零的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可 下列结论正确的是 ( ) A在区间 a， b上，函数的极大值就是最大值 B在区间 a， b上，函数的极小值就是最小值 C在区间 a， b上，函数在 x a和 x D一般地，在区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值和最
9、小值 答案 D 解析 由于函数在给定的闭区间上不一定有极值，但必有最值，且最值有可能在端点处取得，也有可能在极值点取得，因此前三个选项都不正确 三、函数极值与最值的应用技巧 (1)确定参数的值，这里一般用待定系数法 (2)求参数的取值范围，运用化归与转化的思想方法 (3)判断方程根的变化这里一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数极值的情况画出函数 f(x)的草图，再观察方程的根，或转化为函数的零点问题 (4)证明不等式 这里一般是先构造函数，再根据函数的最值来证明不等式 求含参数的值域问题时，通常对参数进行分类讨论 如图所示，三次函数 f ( x ) x 在区间 1 , 1 上有
10、极大值和极小值，求常数 a 的取值范围 解析 f ( x ) 3 2 1 ， f ( x ) 在区间 1 , 1 上有极大值与极小值， 即 f ( x ) 0 在区间 1 , 1 上有两个相异的实根， 方程 3 2 1 0 在区间 1 , 1 上有两个相异的实根，则 4 4 3 0 ， 1 3 ， 3 0 ， x 1 ， x 2 舍去 f ( 0 ) 0 ， f ( 1 ) l n 2 14， f ( 2 ) l n 3 1 ， 该函数在区间 0 , 2 上的最大值为 l n 2 14，最小值为 0. 含参数的最值问题 已知函数 f(x) 6b，问是否存在实数a， b，使 f(x)在 1,2上
11、取最大值 3，最小值 29，若存在，求出 a， 不存在，说明理由 分析 利用求最值的方法确定 a、 意对 解析 显然 a 0. f ( x ) 3 12 3 x 4) 令 f ( x ) 0 ，解得 x 1 0 ， x 2 4( 舍去 ) ( 1 ) 当 a 0 时，当 x 变化时， f ( x ) 、 f ( x ) 的变化情况见下表： x 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 f ( x ) 0 f ( x ) 最大值 所以当 x 0 时， f ( x ) 取得最大值，所以 b 3. 又 f ( 2 ) 16 a 3 ， f ( 1) 7 a 3 ， f ( 1 ) f ( 2 ) ， 所以
12、当 x 2 时， f ( x ) 取得最小值， 16 a 3 29 ， 即 a 2. ( 2 ) 当 a f ( 1) 所以当 x 2 时， f ( x ) 取得最大值，即 16 a 29 3 ， 即 a 2. 综上所述 a 2 ， b 3 或 a 2 ， b 2 9 . 方法总结 本题综合运用求极值、最值的方法确定参数a 、 b ，注意对 a 的讨论和最大、最小值的确定 设函数 f ( x ) 3 1( a 、 b R ) 在 x x 1 ， x x 2处取得极值，且 | x 1 x 2 | 2. ( 1 ) 若 a 1 ，求 b 的值； ( 2 ) 若 a 0 ，求 a 、 b 的关系及 a 的取值范围 解析 由已知得 f ( x ) 3 2 3 ( 1 ) 当 a 1 时， f ( x ) 3 2 3. 由题意知 x 1 ， x 2 是方程 3 2 3 0 的两根， 所以 | x 1 x 2 |4 363. 又因为 | x 1 x 2 | 2 ，得 b 0. ( 2 ) 由 式及题意知 2 3 0 的两实根， 所以 | 4 36 a. 从而 | 2
