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1、） 1 . 3 正弦函数的图象与性质 ( 二 ) 【学习要求】 1 了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2 会求函数 y A x ) 的周期 3 掌握函数 y s x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 【学法指导】 1 在函数的周期定义中是对定义域中的每一个 x 值来说，对于个别的 f ( T ) f ( ，并不能说 T 是 f ( x ) 的周期例如：既使 s 42 4成立，也不能说2是 f ( x ) x 的周期 2 判断函数的奇偶性应坚持 “ 定义域优先 ” 原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断 f ( x ) 与 f ( x ) 的关
2、系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错 . 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 填一填 知识要点、记下疑难点 ） 1 正弦曲线 从函数图象看，正弦函数 y x 的图象关于 对称；从诱导公式看， s ( x ) 对一切 x R 恒成立 所以说，正弦函数是 R 上的 函数 原点 x 奇 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 填一填 知识要点、记下疑难点 ） 2 函数的周期性 ( 1) 对于函数 f ( x ) ，如果存在一个 ，使得定义域内 的 都满足 ，那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的 ( 2) 如果在周期函数 f ( x )
3、 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f ( x ) 的 3 正弦函数的周期 由 x 2 k ) 知正弦函数 y s x 是 函数，2 k ( k Z 且 k 0) 都是它的周期，最小正周期是 2. 非零常数 T 每一个 f(x T) f(x) 周期 最小正周期 x 周期 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 探究点一 周期函数的定义 一般地，对于函数 y f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f ( x T ) f ( x ) 都成立，那么就把函数 y f ( x ) 叫做周期函数，不为
4、零的常数 T 叫做这个函数的周期 ( 1) 证明函数 y si n x 是周期函数 答 x 2 ) x ， y x 是周期函数，且 2 就是它的一个周期 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 ） ( 2) 满足条件： f ( x a ) f ( x )( a 为常数且 a 0) 的函数 y f ( x )是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由 答 f ( x a ) f ( x ) ， f ( x 2 a ) f ( x a ) a f ( x a ) f ( x ) f ( x ) f ( x 2 a ) f ( x ) 函数 y f ( x
5、) 是周期函数，且 2 a 就是它的一个周期 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 ） ( 3) 满足条件： f ( x a ) 1f x ( a 为常数且 a 0) 的函数 y f ( x )是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由 答 f ( x a ) 1f x， f ( x 2 a ) f ( x a ) a 1f x a11f x f ( x ) f ( x 2 a ) f ( x ) 函数 y f ( x ) 是周期函数，且 2 a 就是它的一个周期 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 ） 探究点二 最
6、小正周期 如果非零常数 T 是函数 y f ( x ) 的一个周期，那么 k Z 且k 0) 都是函数 y f ( x ) 的周期 (1) 周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 k Z ，且 k 0)一定也是周期例如，正弦函数 y x 和余弦函数 y c os ，它们的所有周期可以表示为： (2) “ 并不是所有的周期都存在最小正周期 ” ，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期请你写出符合上述特征的一个周期函数： . 2 2 k ( k Z 且 k 0) f ( x ) C ( C 为常数 ) ， x R 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 ） ( 3) 证明函数的最小正周期常用反证法下面是利用反证法证明2 是正弦函数 y x 的最小正周期的过程 请你补充完整 证明： 由于 2 是 y x 的一个周期，设 T 也是正弦函数 y x 的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当 有 . 令 x 2，代入上式，得 2 T 2 1 ， 又 2 T ，所以 . 另一方面，当 T ( 0,2 ) 时， ，这与 矛盾 故 2 是正弦函数 y x 的最小正周期 001 x 0，得 10 ， x R) 的周期 T 2. 填一填 练一练 研一研 本课时栏目开关
