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1、在平面内，若动点 到 、 两点的距离之和等于 2，则动点 的M1(,0)F2(,) M轨迹是以 ， 为焦点的椭圆；1F2在平面内，已知 ， ，若动点 满足条件： ，则15,2,M128F动点 的轨迹方程是 ；69xy在平面内，若动点 到点 和到直线 的距离相等，则动点(,0)P20xy的轨迹是抛物线。 其中正确命题的个数是_0_1. 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 ，都有 ， x,ySxy,S则称 S 为封闭集。下列命题：集合 Sz|z= abi（ 为整数， 为虚数单位）为封闭集； w_w_w.k*s 5,bi*若 S 为封闭集，则一定有 ；0S封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集
2、，则满足 的任意集合 也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*mTCT其中真命题是 1、 已知关于 的实系数方程 的两根分别为 ，且x2240()xaaR12,x，则 的值是_.23解： ，如图，点 (,)0,)Pxy是双曲线21(0,)xyab上的动点， 12,F是双曲线的焦点， M是 12F的平分线上一点，且 2FMPur.某同学用以下方法研究O：延长 2交 于点 N，可知 为等腰三角形，且 为 2N的中点，得 1aL.类似地：点 (,)0,)Pxy是椭圆2(0)xyba上的动点， 12,F是椭圆的焦点， 是 12FP的平分线上一点，且 2FMPur，则 O的取值范围是 20,a
3、b .8. 方程 |1169yx的曲线即为函数 )(xfy的图像，对于函数 )(xfy，有如下结论： )(f在 R上单调递减；函数 43F不存在零点； |yx的最大值为 3；若函数 ()gx和 f的图像关于原点对称，则 ()ygx由方程 |1169确定其中所有正确的命题序号是_如图,在三棱锥 PABC中, 、 PB、 C两两垂直,且 3,2,1PABC.设M是底面 内一点,定义 (),)fMmnp,其中 、 n、 p分别是三棱锥、 三棱锥 、三棱锥 的体积.若 (),)fMxy,且18axy恒成立,则正实数 a的最小值为_1_.2、 从双曲线 的左焦点 引圆21(0,)xyabF的切线，切点为
4、 延长 交双曲线右支于2T点，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则PMFPO_.|=OT解：记双曲线右焦点为 ，联结 221PF1()22aMTaTPMyx1F2OMNPyx2F1FO MFTaF又 90OQ2cabb3、 正四棱锥 中, ,二面角 为 且 ,(SABCD45SASBCcosab为整数),则 （ ）,aa（A） （B） （C） （D）824解：因各侧面为全等的等腰三角形.在 内作高 AE,则 CE 也是 的高,故.设 则 , ,EC1S12AE5sin2AB22ACB= . ,2458sin(cos45)2cos38E得 .38m如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABC
5、D，四边形 ABCD 中，ABAD，AB+AD=4，CD= 2，45CDA.（I）求证：平面 PAB平面 PAD；（II）设 AB=AP.（i）若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30，求线段 AB 的长；（ii）在线段 AD 上是否存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等？说明理由。【解析】解法一：（I） 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，PAACA又 平面 PAD。,BDIB又 平面 PAB，平面 平面 PAD。P（II）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图）xyz在平面 ABCD 内，作 CE/AB 交 AD 于点 E，则.CE在 中，DE= ，
6、RtDcos451Csin451,设 AB=AP=t，则 B（t，0 ，0） ，P （0 ，0，t）由 AB+AD=4，得 AD=4-t，所以 ，(,3),(,)(,4)EtCtDt1,0,.Durur（i）设平面 PCD 的法向量为 ，由 ， ，得(,)nxyznCDurPr0,(4).xyt取 ，得平面 PCD 的一个法向量 ，,4nt又 ，故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 ，得(,0)PBtur 30222|1cos6|, ,| (4)nttxru即解得 （舍去，因为 AD ） ，所以45tt或 0t4.5AB（ii）假设在线段 AD 上存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B
7、，C，D 的距离都相等，设 G（0，m，0） （其中 ）04mt则 ，(1,3,)(,0)(,)CtDmtururur由 得 ， （2）| 2(t由（1） 、 （2 ）消去 t，化简得 （3）4由于方程（3）没有实数根，所以在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，C ，D 的距离都相等。从而，在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B ，C，D 的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II） （i）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz（如图）在平面 ABCD 内，作 CE/AB 交 AD 于 E，则 。CD在平面 ABCD 内，作 CE/AB 交 A
8、D 于点 E，则 .在 中，DE= ，RtCDEcos451sin451,设 AB=AP=t，则 B（t，0 ，0） ，P （0 ，0，t）由 AB+AD=4，得 AD=4-t，(0,3),(,)(,4)Ettt1,0,.CDurur设平面 PCD 的法向量为 ，(,)nxyz由 ， ，得nCDurPr0,(4).xyt取 ，得平面 PCD 的一个法向量 ，xt,4nt又 ，故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 ，得(,0)Btr 30222|1cos6|, ,| (4)nPttx ur即解得 （舍去，因为 AD ） ，45tt或 0t4.5AB（ii）假设在线段 AD 上存在一个点 G
9、，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等，由 GC=CD，得 ，45CD从而 ，即90G,A sin451,设 ，,AB则 =-3G在 中，RtG222()AB这与 GB=GD 矛盾。239()1,所以在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 B，C， D 的距离都相等，从而，在线段 AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等。已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中,02p2px.0p（I）求动圆圆心 的轨迹的方程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线O和 的倾斜角分别为 和 ，当 变化且 为O,定值 时，证明直线 恒过定
10、点，并求出该定(0)AB点的坐标.解：（I）如图，设 为动圆圆心， 为记为 ，过点 作直线 的垂线，M,02pFM2pxyAxoB,02pFMNx垂足为 ，由题意知： 即动点 到定点 与定直线 的距离相等，NMFNF2px由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线，所,02p以轨迹方程为 ；2(0)ypxP（II）如图，设 ，由题意得 （否则 ）且 所12,ABy12x12,0x以直线 的斜率存在，设其方程为 ，显然 ，将 与kb21,yxpykb联立消去 ，得 由韦达定理知2(0)ypxPx20yp1212,pbykk（1）当 时，即 时， 所以 ，tan1212,0yxy
11、所以 由知： 所以 因此直线 的方程21204yp214yp24pbk.pkAB可表示为 ，即 所以直线 恒过定点kxP()0kxyAB2,0（2）当 时，由 ，得 = =tan()tant1将式代入上式整理化简可得： ，所以 ，12()4py 2tpbk2tapbk此时，直线 的方程可表示为 即ABykxtan()0tnxy所以直线 恒过定点 2,tp所以由（1） （2）知，当 时，直线 恒过定点 ，当 时直线 恒AB2,0p2AB过定点 .,tanp设虚数 z满足10(4tmz2为实常数， 01m且， t为实数）.（1 ） 求 z的值；（2 ） 当 tN，求所有虚数 z的实部和；（3 ）
12、设虚数 z对应的向量为 OA（ 为坐标原点） ， ),(dcOA，如 0，求t的取值范围.解：（1） 210imztt， 102210504t ttmimtz=（或1050242mzzv）（2） z是虚数，则 10250tt， 的实部为t；当249501,5()1mmmttNS L且 50,且2 .当51510,0()tt 且 25. （3 ）解：10,2t tmcd 10,tcd恒成立，由10250ttmm得，当 1时， 50t；当 1m时， 50t 12,td如 ,cd则02150,222t tt mt且当501, -log2501logmmt t 1且50. 当 0, -log250l2
13、mmtm 1且t已知椭圆214xy的两焦点分别为 12F、 ， P是椭圆在第一象限内的一点，并满足12PFur，过 P作倾斜角互补的两条直线 PAB、 分别交椭圆于 AB、 两点. （1 ）求 点坐标；（2 ）当直线 A经过点 (1 2)， 时，求直线 的方程；（3 ）求证直线 B的斜率为定值 .（1 ）由题可得 1,0， 2,F，设 )0,(),00yxy则0()PFxyur， 0(Pxur， 21 1PFur， （1 分）点 ),0在曲线上，则 014y， （2 分）解得点 的坐标为 (,). （4 分）（2 ）当直线 A经过点 (1 )， 时，则 A的斜率为 ，因两条直线 PAB、 的倾
14、斜角互补，故 B的斜率为 ，由 2213()2404yxx得， 12,3x即 A，故 1Ay， （2 分）同理得 43B， 1By（4 分）直线 B的方程为 3x （6 分）(3) 依题意，直线 P、 的斜率必存在，不妨设 P的方程为：12)(0ykx.由 21()4yk得2(40kx， （2 分）设 ),(Byx，则2()1Bx，21Bk，同理241Ak，则 28Ak，同理 2()AAByx.（4 分）所以： 的斜率 2BABx为定值. （6 分）已知复数 ， .12sin3,1(cos)zizi,32（1 ）若 为实数，求角 的值；2（2 ）若复数 对应的向量分别是 ，存在 使等式 成1,z,abr()()0ab立，求实数 的取值范围.解：（1） iiz)cos2(1)3sin2(1 ，2n3)iR分，4 分23sin
