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1、 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校1指数、对数运算一、知识要点：（1）n 次方根的定义：一般地，若 则 x 叫做 a 的 n 次方根。 叫做根式，n 叫做根指*),1(Nnaxn a数，a 叫做被开方数。（2）方根的性质：当 n 为奇数时：正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数，记作： nax。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个（互为相反数） ，记作： 。n负数没有偶次方根。 0 的任何次方根为 0。（3）根据 n 次方根的定义，易得到以下常用公式：当 n 为任意正整数时，( ) =a.na当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|= .na)0(（4
2、）正数的正分数指数幂的意义 (a0, m,nN *,且 n1) 奎 屯王 新 敞新 疆nm (a0， m,nN *,且 n1) 奎 屯王 新 敞新 疆n1（5）指数幂的运算性质: 奎 屯王 新 敞新 疆)()(,Rnbanm（6）对数的定义：如果 ，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记Nb1,0a作 。Nalog（7）对数恒等式 。Nalog（8）对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有 )(3R(nlogl 21ll()lanaaa 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校2（9）对数换底公式：( a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 。Nmalogl（1
3、0）两个常用的推论: ， 奎 屯王 新 敞新 疆1llba loglogacba （ a, b 0 且均不为 1） nmog二、例题选讲例 1、画出函数 的图象 322 11xxxy变式：化简下列各式（1） ；（2） ；（3） ；（4） 5)(44)(4)(yx4yx例 2、计算（1） ；（2 ） ；（3）1625。28693 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校3例 3、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1） ；（2） ；（3） a43 )0(3173329 aa 43652yx例 4、化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1） ；)3()6)(26511213baba（2
4、） ；414zyxzy（3） ；2124)()( xx ee（4） 112ba例 5、已知 ，求下列各式的值：71a（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。12a3a213a 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校4例 6、已知 .2)(1xf（1） 求 的值；)()af（2） 求 的值。)10()103(01ffL例 7、已知 ，对于 ，式子 能化成关于 的整数指数幂0aZr,8rra)1(48a的可能情形有几种？例 8、设 ， 为不等于 1 的正数，且 ，求证：0xyzba, zyxab)(.1zyx 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校5例 9、计算：（1） ；12lg)(l5
5、lg2)(lg2 （2） ；5lo2333 389lo（3） ；40ll22（4） ；71og8l51og532（5） ).8l4)(l9(l 9例 10、 （1）已知 ， ，用 表示 ；2log3a5ba,30log（2）设 ，用 表示 ；,l,125（3）已知 ，用 表示 ba5log,922a,7log 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校6例 11、设 ， ，且 ，求 的最小值。1xy2logl30xy24Txy例 1、 （1）已知 ，求 的值。364yxxy2（2）已知正实数 满足 ，求 的值；试比较z,zyx4xyz2的大小。zyx6,43变式：设 ，则 的值为 .230.1
6、xy1xy 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校7例 1、若 ，求 的值。yxyxylg2l)lg()l( x例 1、若 ，且满足关系式 ，求 的值。0,1,ba 3log4l2logbaaa,例 1、 （1）计算 的值；7.0lg2lg)1(（2）已知 且 ，求 的值。,cba,c acbac bacacb loglloglogllog 分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校8三、巩固练习：1下列各式中成立的一项是（ ）A B717)(mn3124)(C D 4343)(yx392化简 的结果是（ ）1)(6
7、532132babaA B C D692a3 （ ）等于（）n1lognA1 B1 C2 D2计算 = .33233248abab5若 logaxlog by logc2，a，b，c 均为不等于 1 的正数，且1x0，y0，c ，则 xy_ 2)(lg50l2lg已知关于 x 的方程 2a 7a +3=0 有一个根是 2, 求 a 的值和方程其余的根x1x已知 ，求 的值。12323若 2 （x2y ） x y，求 的值。lglgx10已知函数 是任意实数且 ，f()12， ， x12证明： 1212)().xff 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校9yx210参考答案：例 1、分析：
8、根据方根的性质，将函数进行化简,再作图解： )1(|)1()(332 xxy)(它的图象是两条射线 变式 1：解：（1）原式= .(2)原式=2.4|(3)原式 (4)原式 .)(| yxyx |yx例 2、解：（）原式 2)1(2（）原式 32)()3(3)3( （） 6269269Q原式 36363633 12)(1218例 3、解：先将根式化为分数指数幂，多重根式先内后外；除法先化简分子分母，然后再进行指数的加减；注意带括号运算（）原式 432121432aa（）原式 1)()( 2133739 a（）原式 14265146521 yxxyx例 4、解：（）原式 aba4)3( 0653
9、21（）原式 141432)( xzyxz（）原式 21222 4 xxx eeee11xx 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校10 2121)()(xxee |当 时， ；当 时， 0xxxee| 0xxee|所以原式 )0(2x（）原式 1212112 )( baabab例 5、分析：从已知条件中解出 的值，然后代入求值，这种方法可行但太繁琐如果注意所求式子与已知条件的关系，整体代入求值，则计算简便解：（）因为 且 ，92)(1212aa 021a3（） 47)(212（） 32)1()213 aaa或者： (3)( 131Q2733a（） 817)( 21211121 aaa例
10、6、解：（） 22)() aaaaf 122aa（）由（）可知 )10()103()()10( ffff L)10()(92 ff 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校11所以 50)1()103()2()10( ffff L例 7、分析：先将原式化简，写成关于 的指数幂的形式，然后再分析指数的可能情形a解： 4362848)(rrrraa， 当且仅当 时， 为整数Z,0Q8,0r2,1436r故式子 能化成关于 的整数指数幂的可能情形有种rra)1(48a例 8、证： yzxyzxbb)(,xzzyaa,)(Q从而 ， ， xzyxybyyxz1例 9、解：（）原式 2lg1)5l2(
11、gl)12(lg)5l2lg(l （）原式 5log3333 39l)lol(lo 4592（）原式 5lg2)5lg2(lg)1l(g)15l(2g 1252（）原式 185lg32l8)3log()l3()log( 52 （）原式 6o2l4lll 323322 例 10、解：（） ，5og,3ba)1(2)5logl1(2)0l(l210log 333 ba 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校12（） ab12lg325l1log5（） ，o,3l22ab25log3l)5(g7o22 例 11、解：令 ，lxty ， ， 1x0t由 得 ， ，2logl3xy230t230t
12、， ， ，即 ， ，(1)0tt1t1logxy12x ，2224()4Txyx ，当 时， 1minT例 1、解：（） 36log,l,3643yxyxQ1l4logl212363636xy（）设 ，则43mzy mzyx643log,l,l 03lll26log122 myzxz 0lg,1mQ，08164lg3l4lg3)(l4l3l43 myx yx43，64lgl26l)2(l6lgl6 mzy zy6从而 x43 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校13变式：解： ， 203.lglyx 123lg1yx例 1、分析：在求解过程中，要注意真数要大于的限制条件解： ，yxylg
13、l)l()lg(Q,2)(,2g( xyyx，0),022yx或 ，由题意知 ，所以 ， 1,yxyx2例 1、解法一（对数转化为指数）：设 ，则mbaa3log4l2log， ， ， ， 4)2(,mam0Q21， 13loglba 31,2ba解法二（利用换底公式）：，2lglll24l2log aaa， 13oglba 3例 1、分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度解：（）设 ，则x7.0lg2lg)( 14lg2)7(lg)12(lgl7.0gl17lg.l0 x4（）设 ，则acbbyaloglog,，bcayx bb lgll,lllg 所以 ，同理， ，y caaacc loglogllog,所以原式三、巩固练习： 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校141 D； 2 C； 3 B； ；5 ；32a1解: 2a 7a+3=0, a= 或 a=3.a= 时, 方程为: 8( ) 14( ) +3=0 x=2 或 x=1 log 32121xx 2a=2 时, 方程为: 2 2
