《第4章 控制系统的频域分析法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章 控制系统的频域分析法（157页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 控制系统的频域分析法,吴华春 机电工程学院,4.0 概述,时域分析,信号不只和时间有关，还和频率有关；则信号随着不同频率是如何变化？,x(t) = 50*sin(2*pi*50*t) + 100*sin(2*pi*120*t);,时域分析,时域内要解微分方程，而频域内变成了求解代数方程；系统响应性能不满足工程要求时，如何调整系统？系统无法解析建模时，不能研究系统性能？,时间、频率和幅度的三维坐标,频域分析,频域分析：以输入信号的频率为变量，在频域内研究系统结构参数与性能关系的一种方法。,系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来；,可由微分方程或传递函数求得，也易于实验分析;,可方
2、便设计出能有效抑制噪声的系统。,教学重点：频率特性的基本概念，表达方法，频率特性的绘制，系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量。教学难点：开环幅相频率特性图的画法，闭环频率特性的求法，频率特性和时间响应的关系,1、理解频率特性的概念；熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般绘制方法；熟记典型环节的频率特性曲线。2、熟练运用Nyquist判据判断系统的稳定性；熟练运用Bode图分析系统性能。3、掌握闭环频率特性的概念，频域中的性能指标，稳定裕度的概念。4、了解最小相位系统与非最小相位系统的概念；并能用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。5、掌握用频率特性实验法辩识系统的传递函数。,教学目的：,4.1
3、 频率特性的基本概念,频率特性,当正弦输入 xi(t)=Arsint 时，系统的输出？,解：电路的传递函数为：,设输入信号为：,则系统输出为：,求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有：,第一项是瞬态响应，随时间增加会衰减为0；第二项是稳态响应。,幅值比：,相位差：,频率响应 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。（稳定的系统对正弦输入的稳态响应）。,频率特性：在正弦信号作用下，线性系统输入量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。,稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。,由于这种简单关系的存在，频率响
4、应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。,频率特性与传递函数的关系为：,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：,实频特性,虚频特性,幅频特性,相频特性,下面来证明这种关系。,对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为xi(t)和xo(t)，系统的传递函数为G(s)。,式中， 为极点。,若：,则：,频率特性和传递函数的关系,拉氏反变换为：,若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：,式中， 分别为：,而,上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位
5、移动了 。 和 都是频率的函数。,频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。,输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。,结论：当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。,到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：,频率特性的求取,方法一：由频率特性概念知，频率特性G(j)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数j就得到系统的频率特性。 G(j)=G(s),例：已知系统的传递函数为 ，求频率特 性。,解：令s=j得系
6、统的频率特性 或,频率特性的求取,方法二：根据系统的频率响应求取，稳态响应的幅值比、相位差。,例：已知系统的传递函数为 ，求频率特 性。,幅值比：,相位差：,幅频特性: 相频特性: 实频特性: 虚频特性: 幅频特性和相频特性随变化的曲线如图所示。,频率特性的求取,方法三：试验方法，在不知系统数学模型情况下，只有通过试验求取系统的频率特性。这正是频率特性的一个极为重要的作用。,频率特性的物理意义,频率特性与传递函数的关系: G（j)=G(s)|s=j,频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。,()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。,频率特性图,奈奎斯特(Nyquist)图
7、（极坐标图、幅相频率特性图）,其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：,在复平面上，随（0 ）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。,易知，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。,波德(Bode)图（对数频率特性图）,对数幅频特性图,尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图）,L() ()图,纵坐标：线性分度，频率特性的相角() 单位 度(),对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,4.2 典型环节的
8、极坐标图(Nyquist),频率特性：G(j) = K = Kej0,实频特性：U() = K,虚频特性：V() = 0,幅频特性：A() = K,相频特性：() = 0,频率特性：,相频特性： () = - arctgT,幅频特性：,注意到：,即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2, 0)处，半径为1/2的一个圆。,频率特性：,频率特性：,幅频特性：,相频特性： () = arctg,一阶微分环节的Nyquist图,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性： () = 90,六、振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：, = 0时, = n
9、时, = 时,谐振现象,据振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,令：,解得：,即：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,七、二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：, = 0时, = 1/T时, = 时,八、延迟环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,由于：,易知：,其中，N为某个较大的有限值。,即延迟环节可由N个具有同一实数极点的有理函数近似。,延迟环节也可近似为：,频率特性： G(j) = K =
10、 Kej0,4.3 典型环节的Bode图,转折频率（ 1/T ),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率）。,在转折频率处，L() -3dB，()-45。,渐近线误差,惯性环节具有低通滤波特性。,三、积分环节,传递函数：,对数相频特性： () = arctg,四、一阶微分环节,传递函数：,对数幅频特性：,五、理想微分环节,传递函数：,对数相频特性： () = 90,对数幅频特性：,六、振荡环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性,低频段( n),即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。,两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,
11、对数相频特性,渐近线误差分析,由图可见，当 较小时，由于在 = n 附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差， 越小，误差越大。,当0.380.7时，误差不超过3dB。因此，在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。,准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。,七、二阶微分环节,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数( 1/n )，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,传递函数：,八、延迟环节,传递函数：,最小相位系统,传递
12、函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,4. 4 系统的开环频率特性图,一阶不稳定环节,由图可见，不稳定一阶环节的幅频特性与惯性环节相同，而相角绝对值大于惯性环节的相角绝对值。,该结论对其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节幅频特性互为对应的不稳定环节也成立。,不稳定振荡环节：,不稳定一阶微分环节：,不稳定二阶微分环节：,最小相位环节与最小相位系统,极点和零点全部位于s左半平面的环节，与其对应的具有相同幅频特性、在s右半平面具有零点或(和) 极点的 “不稳定” 环节相比，相频特性的绝对值最小， 因此，称其为最小相位环节，而相应的在s 右半平面具有零点或(和)极点的 “不稳定” 环节称为
13、非最小相位环节。,延迟环节通常视为非最小相位环节。,极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。,易知，最小相位系统的相角变化范围一定小于相应的非最小相位系统的相角变化范围。,显然，对于稳定的非最小相位系统只存在位于s右半平面的零点。,例如：,Bode证明：最小相位系统的幅频特性与相频特性存在唯一确定的关系。,系统开环Nyquist图的绘制,基本步骤,将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：,求系统的频率特性：,即：,求A(0)、(0)；A()、(),补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根 据A()、() 的变化趋势，画出Nyquist 图 的大致形状。
14、,示例,解：,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()270,解：,0： A(0),： A()0,(0)90,()270,Nyquist图与实轴相交时：,又：,解得：,解：,T1T2 时：,() T2 时：,() 180,Nyquist图的一般形状,考虑如下系统：,0型系统（v = 0）,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()(nm)90,I型系统（v = 1）,0：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),II型系统（v = 2）,开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起 自幅角为v90的无穷远处。,n = m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有 限远点，且止于实轴上的某一有限远点。,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相 角为(nm)90。,不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞 后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节 的系统，由于相角非单调变化， Nyquist 曲线可能出现凹凸。,系统开环Bode图的绘制,考虑系统：,解：,易知系统开环包括了五个典型环节：,转折频率：2=2 rad/s,转折频率：4=0.5 rad/s,转折频率：5=10 rad/s,开环对数幅频及相频特性为：,Bode Diagram,
