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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面自主探究学习能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.1.平面通常用希腊字母 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等.2.如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）3.公理 1：如果一条直
2、线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内4.公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.5.公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.6. 公理 2 的三条推论：推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.名师要点解析要点导学1. 点 在直线上,记作 ；点 在平面 内,记作 ；直线 在平面 内,记作AAaAa.a2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、 “符号语言”、 “图形语言”列表如下：公理 1 公理 2 公理 3图形语言文
3、字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,AlBl,ABC不 共 线确 定 平 面 ,lPPI3.公理的作用（1）公理 1 作用：判断直线是否在平面内；（2）公理 2 作用：确定一个平面的依据；（3）公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.【经典例题】【例】在正方体 中.（1） 与 是否在同一平面内？（2）点1ABCD1AC是否在同一平面内？（3）画出平面 与平面 的交线，平面 与平面1,BCD1BD1ACD的交线.【分析】利用公理 1、公理
4、2、公理 3 及公理 2 的推论来判定.【解】 （1）在正方体 中，1ABCD ， 由公理 2 的推论可知， 与 可确1/A1AC定平面 ，C 与 在同一平面内. 1（2）点 不共线，由公理 3 可知，点 可确定,B1,BD平面 ，1D 点 在同一平面内. 1,（3） ， ， 点 平面 ， 平面 ，ACOI11DCEIO1AC1BD又 平面 ， 平面 ， 11B 平面 平面 ，I11同理平面 平面1【点拨】确定平面的依据有公理 2（不在同一条直线上的三点）和 3 个推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对公理及推论的作用，应清楚明白.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
5、自主探究学习了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.1.两条直线的三种位置关系（1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线：同一平面内，没有公共点；（3）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 奎 屯王 新 敞新 疆名师要点解析要点导学1. 空间两条直线的位置关系：相 交 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；共 面 直
6、线 平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 ；异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 .2. 已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，把 所成的锐角,abO/,ab,ab（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点 的选择无关，, O为了简便，点 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为 ，如果两O (0,9条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作 . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.3. 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据.【经典例题】【例 1
7、】判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”（1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ）（2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 （ ）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等 （ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 （ ）【分析】依据公理 4、异面直线所成角的定义及等角定理进行判断.【解】 （1） （ ） ；（2） （ ） ；（3） （ ） ；（4） （ ） ；（5） （ ） ；（6）（ ）.【点拨】注意在空间中思
8、考问题，如问题（4） ，与已知直线平行且距离等于定长的直线在一个平面内是只有两条，但在空间中就有无数条.【例】如图中，正方体 ABCDA1B1C1D1，E，F 分别是 AD，AA 1 的中点.（1）求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小；（2）求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小.【分析】依据异面直线所成角的定义，借助正方体本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤进行解答.【解】 （1）如图，连接 DC1 ， DC 1AB 1， DC 1 和 CC1 所成的锐角CC 1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. CC 1D=45， AB 1 和 CC1 所成的角是 45.（2）如图，
9、连接 DA1，A 1C1， EFA 1D，AB 1DC 1， A 1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角 . A1DC1 是等边三角形， A 1DC1=60，即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60.【点拨】求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将陌生问题熟悉化. 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系自主探究学习了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.1.直线与平面有三种位置关系：（1）直
10、线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点2. 两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 没有公共点（2）两个平面相交 有且只有一条公共直线名师要点解析要点导学1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点） ；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点） ；（3）直线与平面平行（没有公共点） . 分别记作： ；l； .lPI/l2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有一条公共直线）.分别记作 ；/.lI【经典例题】【例 1】a/b 且 a 与平面相交，那么直线 b 与平面 的位置关系是（ ）A必相交 B
11、有可能平行C相交或平行 D相交或在平面内【分析】可借助手边的模型进行判定.【解】A【点拨】解题时利用手边的模型或教室中的长方体模型可快速解决问题.【例 2】如右图，设ABC 和A 1B1C1 的三对对应顶点的连线AA1，BB 1，CC 1 相交于一点 O，且 = = = .试求1O23的值. 1ABCS【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算.【解】依题意，因为 AA1，BB 1，CC 1 相交于一点 O，且 = = ，1AB1CO所以 ABA 1B1，A C A1C1， BC B1C1.由 平 移 角 定 理 得 BAC= B1A1C1， ABC= A1B1C1， ABC A
12、1B1C1，所以 =（ ） 2= .1ABCS349【点拨】利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，理解直线与平面平行判定定理，初步掌握转化思想“线线平行 线面平行 ”.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行名师要点解析要点导学1.判定定理的符号表示为： . ,
13、/aba2. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.【经典例题】【例 1】如果平面外有两点 A，B，它们到平面的距离都是 a，则直线 AB 和平面 的位置关系一定是 （ ）A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AB【分析】外有两点 A，B，它们到平面 的距离都是 a，并不能说明直线 AB 一定与平行，因为两点 A，B 有可能在平面的异侧.【解】C【点拨】思考问题时，思维要发散，不能定向思维.【例 2】如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、 N 分别是 AB、 P
14、C 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆（1）求证：MN/平面 PAD；（2）若 ， ，求异面直线 PA 与 MN 所4BC3A成的角的大小.【分析】利用中位线或平行四边形找平行线，再利用线面平行的判定定理.【解】 （1）取 PD 的中点 H，连接 AH，由 N 是 PC 的中点， NH . 由 M 是 AB 的中点， NH AM， /2D/即 AMNH 为平行四边形. . /NA由 ， .,PPAD平 面 平 面 /PAD平 面（2） 连接 AC 并取其中点为 O，连接 OM，ON， OM BC，ON PA， /1/12所以 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角，且 MO NO.OM由 ， , 得 OM=2，ON= 奎 屯王 新 敞新 疆4NBC3PA23所以 ，即异面直线 PA 与 MN 成 30的角 奎 屯王 新 敞新 疆03【点拨】已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，或通过找平行四边形得到线线平行，再通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.2.2.2 平面与平面平行的判定自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，理解两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.一个平面内有
