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1、专题 10 等腰三角形探究 等腰 (边 )三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中 ，常常以它为载体 ， 与其他知识结合编制成综合性较强的问题 ， 是中考中必考的一个热点问题 ， 往往在综合题中出现 ， 是函数、方程与几何的综合运用 ， 形式广泛 ， 在中考命题中常考常新 一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合探究数形结合与分类讨论的问题；二是将它与反比例函数、二次函数等函数结合探究函数、方程思想的应用问题；三是将它与运动问题结合， 涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识 ， 探究等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类 等腰
2、三角形中体现的分类思想 1 (2014呼和浩特 )等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36 ， 则该等腰三角形的底角的度数为 【 解析 】 第 1题分锐角三角形和钝角三角形两种情况 ， 利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数； 63 或 27 2 在等腰三角形 已知 连结 若 求 【 解析 】 第 2题 但没有指明相等的边 ，所以要分两种情况讨论： 别画出图形并求解 分两种情况： 如图 1， 则 可求得 90 ， C 45 ； D， 如图 2， 则 B C 2 C， 然后用 可得 5 C 180 ， C 36 3 (2013玉林 )如图， 在直角坐标系中 ， 已知 A(
3、4，3)， 若以 O， A， 则满足条件的点 _个 ， 写出其中一个点 . _ _ 8 写出 ( 5 ， 0 ) ， ( 8 ， 0 ) ， ( 0 ， 5 ) ， ( 0 ， 6 ) ， ( 5 ， 0 ) ， ( 0 ， 5 ) ， ( 0 ，256) ， (258， 0 ) 中的一个即可 4 (2014泸州 )已知 2(m 1)x 5 0的两个实数根 (1)若 (1)(1) 28， 求 2(m 1)x 5 0的两个实数根 ， 2(m 1)， x15， (1)(1) x1( 1 5 2(m 1) 1 28， 解得 m 4或 m 6， 当 m 4时原方程无解 ， m 6 (2)已知等腰 ，
4、若 求这个三角形的周长 当 7为底边时 ， 此时方程 2(m 1)x 5 0有两个相等的实数根 ， 4(m 1)2 4(5) 0， 解得 m 2， 方程变为 6x 9 0， 解得 3， 3 3 7， 不能构成三角形；当 7为腰时 ， 设 7， 代入方程得 49 14(m 1) 5 0， 解得 m 10或 4， 当 m 10时方程变为 22x 105 0， 解得 x 7或 15， 7 7 15， 不能构成三角形；当 m 4时方程变为 10x 21 0， 解得 x 3或 7， 此时三角形的周长为 7 7 3 17 由于等腰三角形边或角的不确定性 ， 在没有明确哪两条边是腰、哪两个角是底角时 ， 就
5、需要分类 ， 一般分类时可以按边分类 变换探究等腰三角形 1 如图 ， 9， 90 ， 固定 顺时针旋转 ， 当 旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况 ， 设 它们的延长线 )分别交 它的延长线 ) 于 G， 如图 . (1)始终与 及 ； (2)设 x， y， 求 只要求根据图 的情形说明理由 )； 2 ) 由 A G C H A B ， 得 即9y 故 y 81x ( 0 x 9 2 ) 【解析】第 ( 1 ) 题根据 A B C 与 E F D 为等腰直角三角形 ， E 重合 ， 利用相似三角形的判定定理即可得出结论；第 ( 2 ) 题由 A ， 利用其对应边成比例列出关于 x ，
6、 y 的关系式即可得到；第 ( 3 ) 题要采用分类讨论的思想 ， 当 x 12 ， 当 x ， 当 x ， 分别求出即可 (3)当 以下三种情况讨论： ( ) 当 x 121292 929 22时 ， 如图 ( 点 C ， H 重合 ) ， A G H 为等腰三角形； ( )当 x 9 时 ， 如图 ( A ) ， ( ) 当 x 9 2 时 ， 如图 ( 点 B ， G ， E 重合 ) ， A 等腰三角形 2 (2013株洲 )在 90 ， 3， 4， 点 过点 B(如图 )或线段 如图 )于点 P. (1)当点 求证： (2)当 求 ( 1 ) A 90 ， A C 90 ， C. 在
7、 ， C ， A A ， ( 2 ) 在 ， 3 ， 4 ， 由勾股定理得 5. ( ) 当点 P 在线段 时 ， 如题图 所示 钝角 ， 当 等腰三角形时 ， 只可能是 由 ( 1 ) 可知 ， C C ， 即 3 ， 解得 4 3 ， 3 4 3 5 3 ； ( ) 当点 P 在线段 延长线上时 ， 如题图 所示 ， P ， 90 ， A P 90 ， A ， 点 B 为线段 点 ， 2 2 3 6. 综上所述 ， 当 等腰三角形时 ， 长为 5 3 或 6 画出各种变化中的图形 ， 以边或角进行分类探究其等腰三角形存在的可能 函数探究等腰三角形 1 (2014达州 )如图 ， 在平面直角
8、坐标系中 ， 已知点 O(0， 0)， A(5， 0)， B(4， 4) (1)求过 O， B， 抛物线的解析式可设为 y ax(x 5) 点 B(4， 4)在该抛物线上 ， a 4 (4 5) 4， a 1， 该抛物线的解析式为 y x(x 5)， 即 y 5x (2)作直线 x ， 交线段 ， 当 求 【 解析 】 第 (2)小题 有三种情形 ， 需要分类讨论： 若点 即 若点 即 若点 即 ( 2 ) 点 P 在线段 方的抛物线上 ， 设 P ( m ， 5m ) ， 则 Q ( m ， m ) 当 P 等腰三角形时 ， 若点 B 为顶点 ， 即 如图 1 所示 ， 过点 B 作 点 E ， 则点 E 为线段 点 ， E ( m ， 6， x 轴 ， B ( 4 ，4 ) ， 64 ， 解得 m 2 或 m 4 ( 与点 B 重合 ， 舍去 ) ， m 2 ； 若点 即 如图 2 所示 ， 易知 B 45 ， P 45 ， 则 P x 轴 ， 5m 4 ， 解得 m 1 或 m 4 ( 与点 B 重合 ， 舍去 ) ， m 1 ； 若点 Q 为顶点 ， 即 如图 3 所示 ， P ( m ， 5m ) ， Q ( m ， m ) ， 4m ， 又 2 ( 2 ( 4 m ) ， 4m 2 ( 4 m ) ， 解得 m 2 或 m 4 ( 与点 B 重
