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1、12008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4分,共 32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数 20()ln()xftd则 ()fx的零点个数(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函数 (,)arctnxfxy在点 (0,1)处的梯度等于(A)i (B)-i (C) j (D)j(3)在下列微分方程中,以 123cosin2xyCeCx( 123,为任意常数)为通解的是(A) 40yy(B) 40yy(C) (D) (4)设函数 ()fx在 ,)内单调有界, nx为数列,下列命题正
2、确的是(A)若 n收敛,则 (nf收敛 (B)若 nx单调,则 ()nfx收敛(C)若 ()fx收敛,则 x收敛 (D)若 ()f单调,则 收敛(5)设 A为 阶非零矩阵, E为 阶单位矩阵. 若 30A,则(A) E不可逆, 不可逆 (B) E不可逆, A可逆(C) 可逆, 可逆 (D) 可逆, 不可逆(6)设 A为 3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,)1xyz在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为(A)0(B)1(C)2(D)3(7)设随机变量 ,XY独立同分布且 X分布函数为 Fx,则 max,ZXY分布函数为(A) 2Fx (B) y(C) 21(D) 1x(8)设随
3、机变量 0,1XN, ,4Y且相关系数 XY,则(A) 2PY(B) 21P(C) (D) 二、填空题(9-14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程 0xy满足条件 1y的解是 y. (10)曲线 sinlx在点 0,处的切线方程为 .(11)已知幂级数 02nna在 处收敛,在 4x处发散,则幂级数 03nnax的收敛域为 .(12)设曲面 是 24zxy的上侧,则 2xydzxdy.(13)设 A为 2阶矩阵, 12,为线性无关的 2维列向量, 12120,A,则 A的非零特征值为 .(14)设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布,则 2PXE.
4、2三、解答题(1523 小题,共 94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 10分)求极限 40sinsinlmxx.(16)(本题满分 10分)计算曲线积分 2sin1Lxdyd,其中 L是曲线 sinyx上从点 0,到点 ,0的一段.(17)(本题满分 10分)已知曲线220:35xyzC,求曲线 C距离 XOY面最远的点和最近的点.(18)(本题满分 10分)设 fx是连续函数 ,(1)利用定义证明函数 0xFftd可导,且 Fxf.(2)当 fx是以 2为周期的周期函数时,证明函数 2002()()xGftdft也是以2为周期
5、的周期函数. 3(19)(本题满分 10分)21(0fxx,用余弦级数展开,并求 12n的和.(20)(本题满分 11分)TA, T为 的转置, T为 的转置.证明:(1) 2r. (2)若 线性相关,则 ()2rA.4(21)(本题满分 11分)设矩阵221naaAO,现矩阵 A满足方程 XB,其中 1,TnxL,1,0BL,(1)求证 1n.(2)a为何值,方程组有唯一解,求 1x.(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.5(22)(本题满分 11分)设随机变量 X与 Y相互独立, X的概率分布为 1,03PXi,Y的概率密度为10Yyfy其 它,记 Z,(1)求 2PX.(2)求 Z的
6、概率密度.(23)(本题满分 11分) 设 1,nXL是总体为 2(,)N的简单随机样本.记 1ii, 21niiSX, 21TSn(1)证明 T是 2的无偏估计量 .(2)当 0,时 ,求 DT.62009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4分,共 32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当 0x时, sinfxax与 2ln1gxb等价无穷小,则(A) 16ab (B) 6a(C) ,(D) ,(2)如图,正方形 ,1,xy被其对角线划分为四个区域 1,234kD, coskDIxdy,则
7、 14maxkI(A) 1I (B) 2I(C) 3 (D) 4(3)设函数 yfx在区间 1,3上的图形为则函数 0xFftd的图形为(A) (B) ()fx0 2 3 x1-2-11()fx0 2 3 x1-2-11(C) (D)()fx0 2 3 x1-11()fx0 2 3 x1-2-11(4)设有两个数列 ,nab,若 lim0na,则(A)当 1nb收敛时, 1n收敛. (B)当 1nb发散时, 1nab发散. (C)当 1n收敛时, 21nab收敛. (D)当 1n发散时, 21n发散.(5)设 23,是 3维向量空间 3R的一组基,则由基 23,到基121,的过渡矩阵为(A)0
8、3(B)1023(C)12461246(D)1416(6)设 ,AB均为 2阶矩阵, *,AB分别为 ,的伴随矩阵,若 2,3AB,则分块矩阵O的伴随矩阵为1()fx-2 0 2 3 x-1O7(A)*32OBA(B)*23OBA(C)*(D)*(7)设随机变量 X的分布函数为 10.3.72xFx,其中 x为标准正态分布函数,则 E(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 (8)设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从标准正态分布 0,1N,Y的概率分布为102PY,记 ZFz为随机变量 ZY的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(9-
9、14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数 ,fuv具有二阶连续偏导数, ,zfxy,则2zx.(10)若二阶常系数线性齐次微分方程 0yab的通解为 12exyC,则非齐次方程 yabx满足条件 02,y的解为 y .(11)已知曲线 2:Lyx,则 Lxds .(12)设 ,1xzz,则 2zy .(13)若 3维列向量 ,满足 T,其中 T为 的转置,则矩阵 T的非零特征值为 .(14)设 12,mXL为来自二项分布总体 Bnp的简单随机样本, X和 2S分别为样本均值和样本方差.若 2kS为 np的无偏估计量,则 k .三、解答题(1523 小题
10、,共 94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 9分)求二元函数 2(,lnfxyy的极值.(16)(本题满分 9分)设 na为曲线 nyx与 1,2.n所围成区域的面积,记 121,nnSa,求1S与 2的值 .8(17)(本题满分 11分)椭球面 1S是椭圆2143xy绕 x轴旋转而成,圆锥面 2S是过点 4,0且与椭圆243xy相切的直线绕 轴旋转而成.(1)求 1S及 2的方程. (2)求 1S与 2之间的立体体积. (18)(本题满分 11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 fx在 ,ab上连续,在 (,)ab可导,则存
11、在,ab,使得 fafba.(2)证明:若函数 x在 0处连续,在 0,内可导,且 0limxfA,则0f存在,且 0fA9(19)(本题满分 10分)计算曲面积分 322xdyzxzdyI,其中 是曲面 224xyz的外侧.(20)(本题满分 11分)设1042A, 1(1)求满足 1的 . 231A的所有向量 2, 3. (2)对(1)中的任意向量 2,3证明 123,无关.(21)(本题满分 11分)设二次型 2212313123,fxaxxx.(1)求二次型 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型 f的规范形为 21y,求 a的值.10(22)(本题满分 11分)袋中有 1个红色球,2
12、个黑色球与 3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以 ,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1) 求 0p. (2)求二维随机变量 ,XY概率分布(23)(本题满分 11 分)设总体 X的概率密度为2,0()xefx其 他,其中参数 (0)未知, 1X, 2, n是来自总体 的简单随机样本 .(1)求参数 的矩估计量.(2)求参数 的最大似然估计量. 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4分,共 32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim()xxab
13、=(A)1 (B)e(C)eab (D) ba (2)设函数 (,)zxy由方程 (,)0yzFx确定,其中 F为可微函数,且 20,F则zxy=(A) (B)z(C) x (D) (3)设 ,mn为正整数,则反常积分210ln()mxd的收敛性(A)仅与 取值有关 (B)仅与 n取值有关(C)与 ,n取值都有关 (D)与 ,m取值都无关(4) 21lim()xjij= (A) 20()ddy (B) 10()xddy 11(C) 10()dxdy (D) 120()dxdy(5)设 A为 mn型矩阵 ,B为 nm型矩阵,若 ,ABE则(A)秩 (),秩 () (B)秩 (),m秩 ()nB (C)秩 秩 (D)秩 秩(6)设 A为 4阶对称矩阵,且 20,A若 的秩为 3,则 A相似于(A)10(B)10(C)10(D)10(7)设随机变量 X的分布函数 ()Fx 011,2e x则 PX=(A)0 (B)1 (C) 1e2 (D) 1e(8)设 1()fx为标准正态分布的概率密度 2,()fx为 ,3上均匀分布的概率密度,12()abf 0 ,0)ab()fx为概率密度,则 ,ab应满足(A)234(B)34ab (C) 1 (D) 2二、填空题(9-14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设 20e,ln(1),ttx