考研数学线代真题—矩阵

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1、 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵知识点讲解和习题】 ，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。第二章 矩阵综述：矩阵是线性代数中最基本的内容，线性代数中绝大多数运算都是通过矩阵进行的。本章相关的概念和运算贯穿整个学科，在后续章节中有很重要的运用。考试直接考查本章的知识点以选择题或填空题为主，平均每年 1

2、到 2 道。但实质上，线性代数中基本上没有题目不涉及到矩阵以及矩阵的运算的。因此，本章的复习效果在很大程度上决定了整个学科复习的成败。本章的主要知识点有：矩阵的概念，矩阵的各种运算及其法则，逆矩阵的概念，伴随矩阵的概念，伴随矩阵和逆矩阵的关系以及矩阵可逆的充要条件，初等变换与初等矩阵，利用初等行变换计算逆矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩。复习时要以矩阵的运算为线索，系统把握所有知识点。矩阵的运算中，核心的是矩阵的乘法，要特别注意与乘法相关的各种特殊的运算规律：如交换律和结合律都不成立。本章考查最多的考点是逆矩阵，这一部分可以从三个方面来把握:一是它的定义，二是它与伴随矩阵的关系，三是利用初等变换计算

3、逆矩阵的方法。最后，对于矩阵的秩，要着重理解它的定义，理解它和行列式以及矩阵的可逆性的关系。本章常考的题型有：1.对矩阵的运算的考查，2.对逆矩阵的考查，3. 初等变换，4.矩阵方程，5.矩阵的秩，6.矩阵的分块。常考题型一：矩阵的运算 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料1.【1994 1 3 分】已知 ， ，设 ，其中 是 的转1,231,23TAT置， 则 _.nA2.【1999 3 3 分】设 ，而 为正整数，则012n_.12nA3 （ 2003-2 4 分）设 为 3 维列向量， 是 的转置. 若 ，T1T则 = .T【小结】：对于可以写成 形

4、式的矩阵，利用矩阵乘法的结合律，12233aAb都有和本题类似的结论： ，其中 。1nM1123223abba常考题型二：逆矩阵（1） 利用定义计算逆矩阵4.【2001 1 3 分】 设矩阵 满足 ，其中 为单位矩阵，则A24EO_.AE5.【2000 2 3 分】设 ， 为 4 阶单位矩阵，且10234567AE，则 _1()()BEA1()EB6.【2003 3 4 分】设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵0,),0(aaTL， ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 = .TTa 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料7 （ 2002-2 6分）已知

5、 为3 阶矩阵，且满足 ,其中 是3 阶单位,AB124ABE矩阵.(1) 证明：矩阵 可逆；2E(2) 若 ,求矩阵10B.A8.(1997-3 3 分) 设 为同阶可逆矩阵, 则 ( )(A) (B) 存在可逆矩阵 ,使A P1AB(C) 存在可逆矩阵 ,使 (D) 存在可逆矩阵 和 ,使CTABQ【小结】：一般地，若方阵 满足 ，则对任何常数 ，总可凑出分2lmEOn解式： ，这里，若常数 ，则nEln0lm可逆，且有 。需要考生注意的是，对于A1AAlnl一般的矩阵 ，公式 不一定成立。该公,B22()()nmBB式成立的充要条件是 可交换。,（2） 矩阵可逆的充要条件9.【1997

6、1 3 分】设 ， 为三阶非零矩阵，且 ，则1243AtBABO_.t10.【2008123 4 分】设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ nEn30）不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.AEABAE可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CDE11.【19973 6 分】设 为 阶非奇异矩阵， 为 维列向量， 为常数.记分块矩阵nnb 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料，其中， 是矩阵 的伴随矩阵， 为 阶单位*0,TTEAPQb*AEn矩阵.（1）计算并化简 ;P（2 ）证明：矩阵 可逆的充分必要条件是 .Q1TAb12.【19961 7 分

7、】设 ，其中 是 阶单位矩阵， 是 维列向量，AEnn是 的转置，证明：T的充分必要条件是 ；2A1T当 时， 是不可逆矩阵.1T【小结】：证明矩阵 不可逆的方法：1）证明 ； 2）反证法；3）证明 不满0AA秩；4 ）证明 有非零解； 5）证明 是 的特征值。0Ax0（3） 伴随矩阵13.【19941 6 分】设 为 阶非零实方阵， 是 的伴随矩阵， 是 的转置An*ATA矩阵，当 时，证明 .*TA014.【2009123 4 分】设 、 均为 阶矩阵， 、 分别为 、 的伴随矩阵，B2*B若，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）2,3ABOA*B*23OC*32OABD*A15.【19963

8、3 分】设 阶矩阵 非奇异 ， 是 的伴随矩阵，则( )n2n* 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料. .A*1nAB*1nA. C2 D216.【19953 3 分】设 , 是 的伴随矩阵，则102345*_.1*A17.【20053 4 分】设矩阵 A= 满足 ，其中 是 A 的伴随矩阵，3)(ijaTA*为 A 的转置矩阵. 若 为三个相等的正数，则 为( )T 1321,a1a(A) (B) 3 (C) (D) 3 318.【2013123 4 分】设 是三阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为(a)ijA| ij的代数余子式，若ijaijij0,

9、12,3_a则19.【19982 3分】设 是任一 阶方阵, 是其伴随矩阵 ,又 为常数,且()nk,则必有 ( )01kkA(A) (B) (C) (D) 1nnkA1kA【小结】：伴随矩阵是本章的一个难点，复习时应该从三个方面来把握它：一是它的定义， ，它在低阶的情况及需要讨论伴随矩阵的相关性质时有很大1,1*,.nnA的作用；二是它最重要的性质： ；三是当矩阵 可逆时，*AEA，这个公式运用起来最方便，但是要注意必须在确保矩阵 可逆时才能使用。*1常考题型三：初等矩阵 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料20.【19951 3 分】设 ，12133a

10、A， ， ，则必有（ 212231133aaB10P201P） A12PB21AC12ABD2121.【200412 4 分】设 是 阶方阵，将 的第 列与第 列交换得到 ，再把3B的第 列加到第 列得 ，则满足 的可逆矩阵 为（ ）B3QA10B10C101022.【2006123 4 分】设 为 阶矩阵，将 的第 行加到第 行得 ，再将 的第A3A2B列的 倍加到第 列得 ，记 ，则（ ）12C01PA1PB1ATAPDTC23.【200512 4 分】设 为 阶可逆矩阵，交换 的第 行与第 行得矩阵2n12， 、 分别为 、 的伴随矩阵，则（ ）B*交换 的第 列与第 列得 交换 的第

11、行与第 行得*1*B*12*B交换 的第 列与第 列得 交换 的第 行与第 行得CA2DA24.【19971 5 分】 是 阶可逆方阵，将 的第 行和第 行对换后得到矩阵 .nij（1 ）证明 可逆；（2）求 .B1AB25.【200923 4 分】设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且,PTP，若012TPA 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料，则 为（ ）123123(,),(,)PQTQAA0B0C201D0226.【20013 3 分】设 ， ，121342341243aaA143122343421aB， ，其中 可逆，则 等于( )101P

12、201PA112A12B12CA21DP27. 【2012123 4 分】设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且P，12P， 则 （ ）13,123,Q1QA（A） （B）2（C ） （D）122128.（2011-13 4 分）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换AAB的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 ， ，则 ( ) B10P20PA(A) (B) (C) (D) 12P122112 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料常考题型四：矩阵方程29.【19972 5 分】 且 其中 是三阶单位矩阵，求10,A.2EAB矩阵 B30.【19982 5 分】设 ，其中 是 4 阶单位矩阵， 是 4 阶11(2)TECTA矩阵 的转置矩阵，A， ,求 .3012B20131.【19992 6 分】设矩阵 ，矩阵 满足 ，其1AX12AX中 是 的伴随矩阵，求矩阵 .A X32.【19951 3 分 】设三阶方阵 、 满足关系式： ,且AB16AB,则 _.03417AB33.【20001 6 分】设矩阵 的伴随矩阵