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1、1数学竞赛中的局部调整策略郑日锋（浙江省杭州学军中学 310012）（本文发表于中等数学2004 年第 4 期）局部调整法，就是为了解决某个问题，从与问题有实质联系的较宽要求开始，然后充分利用已获得的结果作为基础，逐步加强要求，逐步逼近目标，直至最后彻底解决问题的一种解题方法。这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用，本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。例 1 已知锐角三角形 中， 在 的内部（包括边界）上找一点ABC.ABC，使得 到三边的距离之和最小。P分析 先对 在 边界上时，研究点 在什么位置时， 到三边距离之和最小，PP然后再对 在 的内部时进行研究。AB解 （一）先研究 在
2、的边界上时PC（1）若 在边 上如图 1，记 的顶点 对应的边分别是AB,，边 上的高分别为 ，cba, cbah到边 的距离分别为 ，连 。Pyx,PAcbahcbCB,Q由面积关系得 ， 时取等号）ybxchb 212121 0(xyhb当。即 在点 处时， 到三边距离之和最小。B（2）若 在边 上， 在点 处时， 到三边距离之和最小。PACP（3）若 在边 上， 在点 处时， 到三边距离之和最小。综合（1） ， （2） ， （3） ，当点 在点 处时， 到三边距离AAB CE P FH xyahzG图 2AB CPxybh图 12之和最小。（二）再研究 在 内部时PABC如图 2，过 作
3、 的平行线交 于 ，交EAC于 ，固定 ，由（一）知，Fx让 变化，有.EHGzyx， .ahEahzy综合（一） （二）知，当点 在 处时，PA最小。zyx评注 本题先对 在边界上进行调整，获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整，逐步逼近目标，最终得到问题的整体解决。例 2 已知正实数 ，满足 ，nx,21L121nxL求证： .21 nxn分析 从特殊情形入手， 时不等式成立，然后研究一般情况，通11xL过局部调整解决问题。证明 当 时不等式成立。21nxxL当 中不全为 1 时，其中必有一个属于（0，1） ，一个属于 ，据对称n, ),1(性，不妨设 .nxx21,0（1）若 11
4、nn ,1212132 nnxxxnn 434LLQ个3。112nxxnL（2）若 ，即1n 21)(作第一次调整：令 下证2,/1/ njxxjj.nnx12L /2/1 1nxxL即证 .令 ,nnxx111f)(则 .)()(2)( zyzzyzfy 记 ， ，/1212)(nnxxb)1(nxm)(/1/nm，1),(2,)( ncaxn的左边= 右边=,)(1mbffn,)(/1mbcaxffn， 。Q 0)1)11/ nnxm / )1(20)( 2/ nxnbcabcabca 成立。212121 )(,.)( nxnxnxn21L /2/1 1nxxL= ，其中/21nxxn .
5、/32nxL4再继续调整，可得 .nxxn112L1432L个n评注 本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为 ，应注意每次调整应使各变量的积为 1，而且放大。例 3 在 1，2，3，1989 每个数前添上 ， 使其代数和为最小的非”号或 “负数，并写出算式（全俄 1998 年数学竞赛题）解 先证其代数和为奇数。从简单情形考虑：全添上“+” ，此时 是奇数。198521L对一般情况，只要将若干个“+”调整为 。即 可奇偶性相同，故每次调整，其代数和的奇偶性不变，即总和为奇数。ba与Q而 ，1)98198716()9876()5432(1 L因此这个最小值是 1。评注 在不断调整，变化过程中
6、，挖掘不变量（ 或不变性质）使问题迎刃而解。例 4 空间有 2003 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的 30 组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，问要使这种三角形的总数为最大，各组的点数应为多少？分析 设分成的 30 组的点数分别是 ，其中 互不相等，3021,nL)30,21(Li则满足题设的三角形的总数为 。问题转化为在kjjiiS301其中 为互不相等的正整数的条件下，求 的最,203321nnL),2(Lni S大值。解 设分成的 30 组的点数分别是 ，其中 互不相等，则3021,n)30,21(Li5满足题设的三角形的总数为 。由对称性，不妨设 ，kj
7、jiinS301 3021nnL（1）在 中，让 变化，其余各组的点数不变，因为 的值不变，3021,nL2, 注意到 ，要使 的值最大，只kjjiikjjk nnS 3030301)( S需 的值最大。如果 ，令 ， 则 ，21n12n1/1,12/21/2/n， 的值变大。因此要使 的值最大，22/ )( nSS对任何 都有 。9i1ii（2）若 中，使 （ ）的 的值不少于 2 个，不妨3021,nL1ii 9ii设。类似（1） ，令 ，其2,9111jjiiji 1,1/ jjii nn余各组的点数不变，则 的值变大。因此要使 的值最大，至多有一个 使 。SS2ii（3）若对任何 ，
8、。设这 30 组的点数分别是9i1iin ,3,4m，则 ，这是不可能的。15,mL2035综上，要使 的值最大，对任何 在 中恰有一个为 2，其余均为 1。S29iiin1设这 30 组的点数分别是 （ ，则30,1,tmtmLL)91t，)()()()1( tL即 ，解得 所以当分成的 30 组的点数分别是20346530t .2,5t52，53，73，75，82 时，能使三角形的总数最大。评注 解决本题的关键是把多元函数 视为二元函数，通过调整两个变量的取值，使S的值最大，最终获得问题的解决。S以上例题说明，局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手，寻求问6题的局部解决，通过逐步调整，获得问题的全部解决，体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、多元不等式的证明及操作性问题时常用.以下问题供读者练习:1.求和为 2003 的正整数之积的最大值。 （答案： ）67322设 为空间四点，连线段 中至多有一条长度大DCBA, CDBA,于 1，试求这 6 条线段长度之和的最大值。 （1985 年美国数学竞赛题） （答案： ）35
