《局部调整法解决数学竞赛题的策略》由会员分享,可在线阅读,更多相关《局部调整法解决数学竞赛题的策略(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1数学竞赛中的局部调整策略郑日锋(浙江省杭州学军中学 310012)(本文发表于中等数学2004 年第 4 期)局部调整法,就是为了解决某个问题,从与问题有实质联系的较宽要求开始,然后充分利用已获得的结果作为基础,逐步加强要求,逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题的一种解题方法。这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用,本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。例 1 已知锐角三角形 中, 在 的内部(包括边界)上找一点ABC.ABC,使得 到三边的距离之和最小。P分析 先对 在 边界上时,研究点 在什么位置时, 到三边距离之和最小,PP然后再对 在 的内部时进行研究。AB解 (一)先研究 在
2、的边界上时PC(1)若 在边 上如图 1,记 的顶点 对应的边分别是AB,,边 上的高分别为 ,cba, cbah到边 的距离分别为 ,连 。Pyx,PAcbahcbCB,Q由面积关系得 , 时取等号)ybxchb 212121 0(xyhb当。即 在点 处时, 到三边距离之和最小。B(2)若 在边 上, 在点 处时, 到三边距离之和最小。PACP(3)若 在边 上, 在点 处时, 到三边距离之和最小。综合(1) , (2) , (3) ,当点 在点 处时, 到三边距离AAB CE P FH xyahzG图 2AB CPxybh图 12之和最小。(二)再研究 在 内部时PABC如图 2,过 作
3、 的平行线交 于 ,交EAC于 ,固定 ,由(一)知,Fx让 变化,有.EHGzyx, .ahEahzy综合(一) (二)知,当点 在 处时,PA最小。zyx评注 本题先对 在边界上进行调整,获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整,逐步逼近目标,最终得到问题的整体解决。例 2 已知正实数 ,满足 ,nx,21L121nxL求证: .21 nxn分析 从特殊情形入手, 时不等式成立,然后研究一般情况,通11xL过局部调整解决问题。证明 当 时不等式成立。21nxxL当 中不全为 1 时,其中必有一个属于(0,1) ,一个属于 ,据对称n, ),1(性,不妨设 .nxx21,0(1)若 11
4、nn ,1212132 nnxxxnn 434LLQ个3。112nxxnL(2)若 ,即1n 21)(作第一次调整:令 下证2,/1/ njxxjj.nnx12L /2/1 1nxxL即证 .令 ,nnxx111f)(则 .)()(2)( zyzzyzfy 记 , ,/1212)(nnxxb)1(nxm)(/1/nm,1),(2,)( ncaxn的左边= 右边=,)(1mbffn,)(/1mbcaxffn, 。Q 0)1)11/ nnxm / )1(20)( 2/ nxnbcabcabca 成立。212121 )(,.)( nxnxnxn21L /2/1 1nxxL= ,其中/21nxxn .
5、/32nxL4再继续调整,可得 .nxxn112L1432L个n评注 本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为 ,应注意每次调整应使各变量的积为 1,而且放大。例 3 在 1,2,3,1989 每个数前添上 , 使其代数和为最小的非”号或 “负数,并写出算式(全俄 1998 年数学竞赛题)解 先证其代数和为奇数。从简单情形考虑:全添上“+” ,此时 是奇数。198521L对一般情况,只要将若干个“+”调整为 。即 可奇偶性相同,故每次调整,其代数和的奇偶性不变,即总和为奇数。ba与Q而 ,1)98198716()9876()5432(1 L因此这个最小值是 1。评注 在不断调整,变化过程中
6、,挖掘不变量( 或不变性质)使问题迎刃而解。例 4 空间有 2003 个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的 30 组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形,问要使这种三角形的总数为最大,各组的点数应为多少?分析 设分成的 30 组的点数分别是 ,其中 互不相等,3021,nL)30,21(Li则满足题设的三角形的总数为 。问题转化为在kjjiiS301其中 为互不相等的正整数的条件下,求 的最,203321nnL),2(Lni S大值。解 设分成的 30 组的点数分别是 ,其中 互不相等,则3021,n)30,21(Li5满足题设的三角形的总数为 。由对称性,不妨设 ,kj
7、jiinS301 3021nnL(1)在 中,让 变化,其余各组的点数不变,因为 的值不变,3021,nL2, 注意到 ,要使 的值最大,只kjjiikjjk nnS 3030301)( S需 的值最大。如果 ,令 , 则 ,21n12n1/1,12/21/2/n, 的值变大。因此要使 的值最大,22/ )( nSS对任何 都有 。9i1ii(2)若 中,使 ( )的 的值不少于 2 个,不妨3021,nL1ii 9ii设。类似(1) ,令 ,其2,9111jjiiji 1,1/ jjii nn余各组的点数不变,则 的值变大。因此要使 的值最大,至多有一个 使 。SS2ii(3)若对任何 ,
8、。设这 30 组的点数分别是9i1iin ,3,4m,则 ,这是不可能的。15,mL2035综上,要使 的值最大,对任何 在 中恰有一个为 2,其余均为 1。S29iiin1设这 30 组的点数分别是 ( ,则30,1,tmtmLL)91t,)()()()1( tL即 ,解得 所以当分成的 30 组的点数分别是20346530t .2,5t52,53,73,75,82 时,能使三角形的总数最大。评注 解决本题的关键是把多元函数 视为二元函数,通过调整两个变量的取值,使S的值最大,最终获得问题的解决。S以上例题说明,局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手,寻求问6题的局部解决,通过逐步调整,获得问题的全部解决,体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、多元不等式的证明及操作性问题时常用.以下问题供读者练习:1.求和为 2003 的正整数之积的最大值。 (答案: )67322设 为空间四点,连线段 中至多有一条长度大DCBA, CDBA,于 1,试求这 6 条线段长度之和的最大值。 (1985 年美国数学竞赛题) (答案: )35