数学分析专题研究导学

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1、数学分析专题研究导学各位览阅学员好！欢迎进入数学分析专题研究导学。这里将介绍本课程内容，纲要和学习要求，提供相应的学习引导及学习方法以及资料讯息。一、课程基本介绍“数学分析专题研究” 是中央广播电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。本课程 4 学分，72 学时，第一学期开设。“数学分析专题研究”针对中央广播电视大学数学与应用数学专业师范类的学生。旨在数学分析的基础上，将已学过的数学分析知识（极限理论，微分学理论，积分学理论与级数理论）直接用到中学数学的研究。使学生加深对微积分学的理解，从高等数学的观点出发，利用高等数学的工具，对初等数学进行深入的研究，并能够建立起初等数学的严格的科学体

2、系，有利于学生更好地进行初等数学的教学。内容涉及集合 论的知识以及代数关系知识、数系扩充、基本函数讨论、极值问题并牵涉到泛函极值问题。 作为中央电大的统开课，本课程使用的教材为东北师范大学高夯编写的“高观点下的中学数学分析学”（高等教育出版社出版）。该教材无疑需要完善。学员可根据教学基本要求，学好所须基本知识，把握基本内容。有关须到后续课程学习的内容可作提前了解。相关的教学资料、大纲及学习要求指导可查阅中央电大开放教育网站（http:/ ）和云南电大在线（ http:/www. 点击云南电大在线）。在云南电大在线开设的本课程网页、本导学及所提供的作业解答将提供基本把握引导。二、教学的学习要求及

3、课程进程安排表教学要求中，尤其复习巩固时，对有关定义、定理、性质、特征等概念的要求，分“知道、了解、理解” 三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的要求，分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。4 学分 72 学时课程表：章号 内容 课内学时 IP 学时 备注1 集合与映射 8 2 数集 20 3 函数 12 4 对数函数与指数函数 8 5 三角函数 14 6 极值问题 10 合 计 72 30 三、学习环节与考核“数学分析专题研究”课程除上述教材外，还有随附上述教材的“数学分析专题研究学习指导”由中央电大的赵坚、顾静相编写，中央电大出版社出版。若学员要广览博阅，则各大高校如复旦大学、吉林大学、

4、南京大学、北京大学的数学分析教材皆可参阅。本课程中央电大 IP 课程、在中央电大开放教育网站。但一般计算机传收效果不行。学员应充分利用各种教学资源勤学、自学，结合面授助学、自觉认真完成作业。独立完成作业是学好本课程的重要手段。本课程的理论推证较多，必须通过作业练习来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。平时作业的完成是计入课程的最终考核成绩的每学期学生必须完成 4 次课程作业，作业内容由中央电大统一规定。中央电大和省市电大将对规定的作业的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生作业，并根据作业完成的情况对作业进行评分，给出平时作业成绩并计入学生期末总成

5、绩。作业评分标准学生必须按规定时间交作业，态度认真，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。每次作业成绩按百分制计算，具体评分标准如下： 完成全部作业内容且正确率达到 80%以上，得分 80100； 未完成全部作业内容，但完成全部作业内容的 60%以上正确率达到已做部分的 80%以上，得分 6079； 未完成全部作业内容，但完成部分占全部作业内容的 60%以下，得分 059； 抄袭作业按 0 分计算； 不按时交作业按 0 分计算。平时作业最终成绩按平均值确定。考试本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。学生本课程的成绩由期末考试成绩和平时作业成绩两部分组成，其中期末考试成绩占8

6、0，平时作业成绩占 20。四、教学内容与要求一、集合与映射（8 学时）（一）教学内容本章内容作为中学数学的基础1.集合的概念，包括集合，元素，包含，子集，相等。集合的运算，包括并、交、补。2.关系与映射笛卡尔积，二元关系，运算。映射，单射，满射，双射3.等价关系，商集。4.序关系，偏序集，有界，极大元，全序集，良序集。5基数，等势集，Bernstein 定理。重点：集合，关系，映射，运算，等价关系，序关系。难点：商集、基数的概念。（二）教学要求1理解集合的概念，熟练掌握有关的运算。2.理解笛卡尔积，二元关系，运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关的例题。3.

7、理解等价关系及序关系，了解商集的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关的例题。4. 理解等势、基数等概念，知道 Bernstein 定理。二、 数 集 （20 学时）（一）教学内容1. 自然数集有限集、自然数、加法、乘法结合律、交换律，乘法对加法的分配律，阿基米德原理，最小数原理，数学归纳法。2整数集从自然数集到整数集的扩充，整数的运算，算律，整数集的可列性。3有理数集从整数集到有理数集的扩充，有理数的运算及算律，有理数的可列性与稠密性。有理数的循环小数表示。4实数集是无理数，实数的四则运算，算律，实数集的连续性。5. 复数集复数的定义与运算，代数基本定理，复数集可排序；复数域不是有序域。重

8、点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。难点：数集扩充的方法。（二）教学要求1.理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。3. 理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。三、

9、函 数(12 学时)（一）教学内容1.函数的概念与运算，四则运算，复合运算，反函数，函数方程。2.函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分，微分的几何意义，近似计算（微分应用），微分学基本定理与应用。3.函数及其性质初等函数的概念，初等性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。超越数，化圆为方的问题，超越函数，基本初等函数的超越性。重点：函数概念与性质，函数的分析性质在初等函数中的应用。难点：解函数方程，函数的有界性，超越函数。（二）教学要求1.理解函数的基本概念，熟练掌握函数的运算（四则、复合），理解反函数的概念，掌握函数方程解法。 2.理解函数的分析性质（函数的连续与可微，连续的定

10、义，左、右连续，导数与微分），理解微分的几何意义，近似计算（微分应用），掌握微分学基本定理与应用并能运用这些性质研究初等函数。3.理解基本初等函数的概念及初等性质。4.理解超越数、超越函数的概念，了解化圆为方的问题，掌握基本初等函数的超越性。四、 对数函数与指数函数（8 学时）(一)教学内容1.对数函数的公理化定义对数函数的存在性，对数函数的唯一性。2.对数函数的其他定义对数函数的积分定义，对数函数的级数定义。3.指数函数指数函数的公理化定义，由特殊到一般的定义，指数函数的性质，指数函数的幂级数定义。4.一些应用复利的计算，生物种群的增长。重点：对数函数与指数函数的各种定义。难点：对数函数的存

11、在性定理。（二）教学要求1.理解对数函数的各种定义，掌握对数函数的性质，能够运用分析的工具研究对数函数。2. 理解指数函数的各种定义，掌握指数函数的性质，能够运用分析的工具研究指数函数。3. 掌握指数函数的应用，并会运用对数函数与指数函数去建立某些实际问题的数学模型。五、 三角函数（14 学时）(一)教学内容1.三角函数的公理化定义，三角函数的初等性质。2.三角函数的分析性质，包括三角函数的连续性与可微性。3.三角函数的几何解释与唯一性。4.三角函数的公理体系，公理体系的等价性，余弦函数的公理化定义，余弦函数的性质，包括有界性，偶函数，周期性。5.三角函数的三种具体定义，包括幂级数的定义，微分

12、方程的定义，积分定义。6.三角函数的应用。重点：三角函数的公理化定义，三角函数的分析性质，三角函数的公理体系，三角函数的具体定义。难点：三角函数的分析性质。（二）教学要求1.理解三角函数的公理化定义，了解三角函数的公理体系。2.理解三角函数的初等性质,会用公理化定义证明三角函数的性质.3.理解三角函数的分析性质，并能够利用分析的方法研究三角函数。4.掌握三角函数的级数定义,会进行三角函数的计算.5.通过本章的学习进一步巩固微积分学基本知识。六、 极值问题 （10 学时）(一)教学内容1.凸函数与极值，凸集，凸函数，基本初等函数的凸性，凸函数在有界凸多面体上的极值，应用举例。2.一般函数的极值问

13、题，一元可微函数的极值，二元可微函数的极值，条件极值，应用举例。3.泛函极值问题（捷线问题，最短弧长问题，最小曲面问题，等周问题），欧拉方程的导出，解欧拉方程。4. 最优控制中的例子重点：解函数极值问题的一般方法，泛函极值问题的变分方法，凸函数的理论。难点：欧拉方程的导出，等周问题。（二）教学要求1.理解凸分析的基本概念与理论。2.掌握一般函数求极值的分析理论与方法。3.掌握欧拉方程的导出。4.了解等周问题。五、以往试题2000 级数学分析专题研究期末试题选登一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1.若 ，则 .CAB, CB_2.若 ，则 .,乙甲2A3.设 ，若 ，有 ,则称 为从 到

14、 上的 .YXf: 211,xXx)(21xfffXY4.含有 的等式叫做函数方程.5.设 ，则 .121)!()(nnxf _)(f6.设函数 定义在开区间 内，对于 ，有f,ba)1,0(),(,21bax，则称 是 内的 函数.)(1)()(21 fxfxf f二、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.设 ， ，有 .YXf:B)()(1BfA. B. C. D. 2.自然数集 ，是（ ）NA. 有限集 B. 可列集 C. 不可列集 D. 空集3.设 定义在 上， 是 的极小值点，则（ ）)(xf),(ba),(0bax(xfA. 0B. 有 ),(x)(0xffC. 当 时，有

15、0 )(0xffD. )(0xf4.设 是二元函数，且 使得 ，则函数 是（ ）,yP)(xfy)(,xfP)(xfA.有理函数 B. 无理函数 C. 代数函数 D. 超越函数5.设 是 内的严格上凸函数，则（ ）)(xf,baA. 在 内必取到最大值 B. 在 内必取到最小值)(xf,ba)(xf,baC. 在 内有 D. 前三个结论都不对)0)(xf6. 在 内连续可导，且 ，使得 ，则 是（ ）)(xf, ),(0)(xfxA. 稳定点 B. 极值点 C. 拐点 D. 临界点三、计算题（每小题 6 分，共 24 分）1.设 ，求 .0,0321aanna321lim2.已知 的曲线经过点 ，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的 2 倍，)(xfy),(求 .f3.已知 ，求 .242yxxd4.已知 ，求 .63)(ff )(f四、证明题（每小题 8 分，共 32 分）1.设 定义在)(xf BCABA)()()(（4 分）3.若函数 在闭区间 上连续，且 皆属于 ，则至少存在一点)(f,banx,21L,ba，使得,ba )()(1ffxfnf 4.设 证明,0,yxx