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1、（微分方程模型） 1 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例系数 k 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为 R且 3小时中融化了总体积的 7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了 1/4（1） 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2） 如运输时间需要 2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3 一展开角为 的圆锥形漏斗内盛着高度为 H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4 容器甲的温度为 60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为7
2、0度，又过十分钟后温度计读数为 76度，试求容器乙内的温度。5 一块加过热的金属块初始时比室温高 70度，20 分钟测得它比室温高 60度，问：（1）2 小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高 10度？6 设初始时容器里盛放着含净盐 10千克的盐水 100升，现对其以每分钟 3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟 2升的速率放出盐水，求 1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7 某伞降兵跳伞时的总质量为 100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为 0.5v,该伞降兵的初始下落速度为 0，经 8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻
3、力约为 0.6 试球给伞降兵下落的速度 v(t),并求其下落的极限速度。8 1988 年 8月 5日英国人 Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地 179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。9 证明对数螺线 r=A 上任一处的切线与极径的夹角 的正切为一常数，（ ）10 实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地 150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11 生态学家估计人的内禀增长率约为 0.029，已知 1961年世界
4、人口数为 30.6亿（3.06 ）而当时的人口增长率则为 0.02。试根据 Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？12 早期肿瘤的体积增长满足 Malthus模型（=V ，其中 为常数），（1）求肿瘤的增倍时间 。根据统计资料，一般有 (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于 70天而小于 465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故 是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式D = 13 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为 1
5、0m，重约 0.001g.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有 1cm以上（即已增大 1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有 30 天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于 个时即可凭借体内免疫系统杀灭。14 设药物吸收系数 （ k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。15 医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔
6、时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到 A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。16 在法国著名的 Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在 1950年做过检测，测得碳 14的衰减系数为每克每分钟 0.97个，已知碳 14的半衰期为 5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。17 2000 年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳 14仅为原有量的 14%，试计算该动物大约生活在什么时候。18 1956 年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的文
7、物的 每克每分钟衰减数为 3.06个，试确定该古墓的年代。 19 实验测得一克镭在一年中会衰变掉 0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？20 根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为 A和 B，两物质反应的质量之比为 a : b，求 t时刻溶液中生成物的数量 x(t)。21 牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为 36.5 ，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为 32度，一小时后再次测量，测的体温约为 30.5度，试推测该受害者的受害时间。22 已知铀 238的半衰期为 4
8、.51 10 年，已测出某颜料每克白铅中铀 238的分解数为 100个/每分钟，试计算：（1） 每克白铅中有多少铀 238分子（2） 铀在这种白铅中所占的百分比有多大？23 人们普遍认为新产品的畅销期为 x(t)位于 0.2K至 0.8K之间，试求新产品畅销期的持续时间长度。24 某人每天由饮食获取 2500大卡的热量，其中新陈代谢约需 1200大卡，每公斤体重约需运动消耗 16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于 10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。25 由于各级火箭的质量不同， 应当是不同的。请对三级火箭求出最优设计。26 在 2003年上半年 Sars（非典型性肺炎）
9、流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。27 医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为 1/2周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些。考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有 1/2周的潜伏期及大约两年的周期性。28 人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流动的液体里，试建立模型来描写这一现象
10、。29 自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。例如，对（3.23）曲线 和 可以证明：任一轨线都必垂直地穿过 f的等斜线而水平地穿过 g的等斜线。利用这一点画出 P-P模型平衡点周围的轨线。30 是某一捕食系统的数学模型，其中。研究此捕食系统，证明：不管开始时食饵 多么丰富，捕食种群 最终必将绝灭。31 大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。32 香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授的“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立的模型与那里给出的模型作一比较，看看你自己的模型建得如何）。
