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1、数学模型 B 参考答案（电气 05 年 12 月）第 1 页（共 5 页）数学建模 试卷及参考答案一概念题（共 3 小题，每小题 5 分，本大题共 15 分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5 分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5 分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。3、人工神经网络方法有什么特点？(5 分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构 ；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。二、模型求证题（共
2、 2 小题，每小题 10 分，本大题共 20 分）1、 某人早 8:00 从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午 5:00 到达山顶并留宿.次日早 8:00 沿同一路径下山,下午 5:00 回到旅店 .证明: 这人必在 2 天中同一时刻经过路途中某一地点 (15 分)证明:记出发时刻为 t=a,到达目的时刻为 t=b,从旅店到山顶的路程为 s.设某人上山路径的运动方程为 f(t), 下山运动方程为 g(t),t 是一天内时刻变量，则 f(t),g(t)在a,b是连续函数。作辅助函数 F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由 f(a)=0,f(b)0 和 g(a)0,g(b)=0,可知 F
3、（a）0,由介值定理知存在 t0 属于(a,b)使 F(t0)=0, 即 f(t0)=g(t0) 。2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15 分)解:模型构成 记第 k 次渡河前此岸的商人数为 ，随从数为 ，k=1， 2,.， ， =0，1，2，3。将kxkykxy二维向量 =（ ， ）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做ksxkyS。S= （3 分） 2,1;3,0,;3,210,|, yxyx记第 k 次
4、渡船上的商人数为 随从数为 将二维向量 =（ ， ）定义为决策。允kukvkdukv许决策集合记作 D，由小船的容量可知D= （3 分）2,10,1|, vvu数学模型 B 参考答案（电气 05 年 12 月）第 2 页（共 5 页）状态 随 的变化规律是： = + （3 分）ksd1kskd模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6 分）三、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，本大题共 45 分）1、 试用和法求出 A 的最大特征值，并做一致性检验（ n=3 时， RI=0.58） 。14/3A答： 中各列归一化 14/3A 8/197/43/各行求和 = 2 分 而 ， （1 分）
5、所以最大特征根为569.078.w32.Aw2 分.)569.08137.48.1()(31iiA其一致性指标为： CI= 2 分2数学模型 B 参考答案（电气 05 年 12 月）第 3 页（共 5 页）CR= 所以 A 不通过一致性检验。 2 分1.06.58.01RIC2、 一块土地，若从事农业生产可收 100 元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收 200 元。若租给某丙开发旅游业可收 300 元。当丙请乙参与经营时，收入达 400 元，为促成最高收入的实现，试用 shapley 值方法分配各人的所得。(9 分)答：甲、乙、丙所得应为 250 元，50 元，100 元(步骤略)3、产品
6、每天需求量为常数 r, 每次生产准备费用为 C1,每天每件产品贮存费用为 C2, 缺货损失费为 C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。 （9分）解:模型假设:1. 产品每天需求量为常数 r 2. 每次生产准备费用为 c1,每天每件产品贮存费用为 c2 3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为 C3 ，当 t=T1 时产品已用完 4. 生产周期为 T，产量为 Q (2 分)模型建立一周期总费用如下: (2 分)2)(1312TrQ一周期平均费用为 (2 分)rCrTf),(2321模型求解: 用微分法解得周期 (1 分)321)(产量 (1 分)(231CrQ4
7、、人的状态分为三种：1（健康） ，2（患病） ，3（死亡） 。设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为 0.8，患病的概率为 0.18，而今年患病的人明年健康的概率为 0.65，健康的概率为 0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。解：状态 死 亡患 病健 康 32,1iii依歇易得转移概率阵为 2 分065.8P.1.02记 ， 则)(,321nana数学模型 B 参考答案（电气 05 年 12 月）第 4 页（共 5 页） （1 分）Pn)(1),21(易是： （2 分） 。i 马 氏 链 是 吸 收 链是 吸 收 状 态死 亡 3OQ
8、IR65.0821.02R.1M65.743.12.8（3 分）85.0934.ey由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为 。 （1 分）48509和5设渔场鱼量满足下列方程：（9 分） hNxrtx)(1)(2&(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况(2)如何获得最大持续产量解:令 ，hNxrxF)(1)(2 )31()2NxrxF的最大值点为 （2 分）f2 ),(当 时,无平衡点 （1 分）3/2rh当 时,有两个平衡点 和 ,N)3/(1Nx)3/(2x经过判断 x1 不稳定,x 2 稳定 （2 分）当 时,平衡点 ,由 不能判断它稳定性 （2 分）3/2rh/00)(F(2)为
9、了获得最大持续产量,应使 且尽量 接近,但操作困难 （2 分）33/x四、建模题（共 2 小题，每小题 10 分，本大题共 20 分）1 考虑药物在体内的分布与排除之二室模型数学模型 B 参考答案（电气 05 年 12 月）第 5 页（共 5 页）即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。 （不必求解）解：假设 、 和 分别表示第 室 的血药浓度，药量和容积，)(tcitxiiVi)2.1(是两室之间药物转移速率系数， 是从中心室（第 1
10、 室）向体外排除的21k和 3k速率系数 3 分则 （1） 6 分21122 0213)( )(xktxtf&（其中 是给药速率） 及0f )2()(LtcVtii于是： 4 分21122 102131)( 3)()ckvtc vfv&2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工 10 小时后生产 A 产品 2 公斤，A 产品可获利 30 元/公斤 ，或加工 8 小时可生产 B 产品 3 公斤， B 产品可获利 18 元/公斤，或加工 6 小时可生产 C 产品 4 公斤，C 产品可获利 12 元/ 公斤，现每天可供加工的原料为 60 桶，加工工时至多为 460 小时，且 A 产品至多只能生产 58 公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10 分） 。答：设每天安排 x1 桶原料生产 A 产品，x 2 桶原料生产 B 产品，x 3 桶原料生产 C 产品，则有： 0,58246103.ma313321xtsz参考评分标准：目标函数 3 分，约束条件 7 分
