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1、秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。充分条件与必要条件典型例题能力素质例 1 已知 p：x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根，q：x 1x 25，则 p是 q 的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换解 x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根，x 1，x 2 的值分别为 1，6，x 1x 2165因此选 A说明：判断命题为假命题可以通过举反例例 2 p 是 q 的充要条件的是 Ap：3x25，q：2x 35Bp：a2， b2，q：abCp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0，q：关于 x 的方
2、程 ax1 有惟一解分析 逐个验证命题是否等价解 对 Ap：x1，q：x 1，所以，p 是 q 的既不充分也不必要条件；对 Bp q 但 q p，p 是 q 的充分非必要条件；对 Cp q 且 q p，p 是 q 的必要非充分条件；对 且 ， 即 ， 是 的 充 要 条 件 选 D说明：当 a0 时，ax 0 有无数个解例 3 若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件， C 是 B 成立的充要条件，则 D 是 A 成立的 A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 通过 B、C 作为桥梁联系 A、D解 A 是 B 的充分条件，A BD 是 C 成立的必要条件
3、，C D 是 成 立 的 充 要 条 件 ， CBCB由得 A C由得 A DD 是 A 成立的必要条件选 B说明：要注意利用推出符号的传递性例 4 设命题甲为：0x5，命题乙为|x2| 3，那么甲是乙的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 先解不等式再判定解 解不等式|x2| 3 得1 x50x5 1x5，但1x5 0x5甲是乙的充分不必要条件，选 A说明：一般情况下，如果条件甲为 xA ，条件乙为 xB当 且 仅 当 时 ， 甲 为 乙 的 充 分 条 件 ；当 且 仅 当 时 ， 甲 为 乙 的 必 要 条 件 ；AB当且仅当 AB 时，甲为乙的充要
4、条件例 5 设 A、B、C 三个集合，为使 A (BC)，条件 A B 是 A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析请同学们自己画图A (BC)但是，当 BN，CR ，AZ 时，显然 A (BC)，但 A B 不成立，综上所述：“A B” “A (BC)” ，而“A (BC)” “A B”即“A B”是 “A (BC) ”的充分条件(不必要)选 A说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况例 6 给出下列各组条件：(1)p：ab0，q：a 2b 20；(2)p：xy0，q：|x|y|x y|；(3)p：m0，q：方程 x2xm0 有实根；
5、(4)p：|x1| 2，q：x1其中 p 是 q 的充要条件的有 A1 组 B2 组C3 组 D4 组分析 使用方程理论和不等式性质解 (1)p 是 q 的必要条件(2)p 是 q 充要条件(3)p 是 q 的充分条件(4)p 是 q 的必要条件选 A说明：ab0 指其中至少有一个为零，而 a2b 20 指两个都为零例 是 的 条 件 7x31212x69分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系解 且 且 ， 但 当 取 ， 时 ， 成 立 ， 而 不 成 立 与 矛 盾 ， 所 以 填 “充 分 不必 要 ” x9x102(23)12121xx212693说 明 ： x3
6、01212()()0x63(x)9121212 这 一 等 价 变 形 方 法 有 时 会 用 得 上 点击思维例 8 已知真命题“ab cd”和“a b ef ”，则“cd”是“ef”的_条件分析 ab cd(原命题) ，cd ab(逆否命题)而 ab ef，cd ef 即 cd 是 ef 的充分条件答 填写“充分” 说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例 9 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 A0a1 Ba 1Ca 1 D0a1 或 a0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之当 a1 时，方程有负根 x1，当 a0 时，x
7、故 排 除 、 、 选 2ABDC解 常 规 方 法 ： 当 时 ， a02当 a0 时1x21 02a0a ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 24a1aa102 ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 2a综上所述 a1即 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件， q 是 s 的充分条件，那么 s， r，p 分别是 q 的什么条件？分析 画出关系图 121，观察求解解 s 是 q 的充要条件；(s r q，q s)r 是 q 的充要条件；(r q，q s r)p
8、是 q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系例 11 关于 x 的不等式|x3(a1)2(3a)0ABA12 与 的 解 集 依 次 为与 ， 问 “”是 或 的 充 要 条 件 吗 ？()()a2分析 化简 A 和 B，结合数轴，构造不等式(组) ，求出 a解 Ax|2a xa 21，Bx|(x2)x(3a 1)0当 即 时 ，23Bx|2x3a1 a2+13a323 当 即 时 ，Bx|3a1x2AB2a3+1a31 综 上 所 述 ： 或 “”是 或 的 充 要 条 件 说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题
9、时要理清思路，表达准确，推理无误学科渗透例 ， 是 的 必 要 条 件 还 是 充 分 条 件 ， 还 是 充12 xy01xy要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系解 当 时 ， 可 得 即 101xyxyx则 或 ，即 或 ，0 xy故 不 能 推 得 且 有 可 能 得 到 ， 即 且 并 非 的 必 要 条 件 1 0xy xyxy0()xy0 2xy0xy0xy0 当 且 则 分 成 两 种 情 况 讨 论 ： 或 不 论 哪 一 种 情 况 均 可 化 为 且 是 的 充 分 条 件 1xy说明：分类讨论要做到不重不漏例 13 设 ， 是方程 x2axb0 的两个实根，试分
10、析 a2 且 b1 是两根 ， 均大于 1 的什么条件？分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要 搞 清 楚 条 件 与 结 论 分 别 指 什 么 然 后 再 验 证 是 还 是 还 是 pqpqppq 解 据 韦 达 定 理 得 ： ， ， 判 定 的 条 件 是 ： 结 论 是 ： 还 要 注 意 条 件 中 ， ， 需 要 满 足 大 前 提 abpq(paa4b0) 211 (1a2b1由 得 ， ，q p上述讨论可知：a2，b1 是 1，1 的必要但不充分条件说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用高考巡礼例 14 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析 1：由丙 乙 甲且乙 丙，即丙是甲的充分不必要条件分析 2：画图观察之答：选 A说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便
