《高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数列单元易错题分析1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ 基本量方法：抓住 及方程思想；)(,1qda利用等差（等比）数列性质）.问题：在等差数列 中， ，其前 ，n 36918716anSn项 的 和 为 求1的最小值； nSnaTL22求3、解决一些等比数列的前 项和问题，你注意到要对公比 及 两种情况进行讨论了1q吗？4、在“已知 ，求 ”的问题中,你在利用公式 时注意到 了吗？nSa 1nnSa2( 时，应有 )115、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（猜证法；转化为等差（比）数列问题
2、）问题： 已知: .,32,11 nnaa求 6、你知道 存在的条件吗？（ ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？nqlim)q你知道无穷数列 的前 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有n项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)*8 数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数nn 0 (kn 0)时成立；(2)假设 n=k 时成立，从而证明当 n=k+1 时命题也成立， （3）得出结论.2、.(1
3、)、 （2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论.例题选讲1、不能正确地运用通项与前 n 项和之间的关系解题：例 1、已知数列a n的前 n 项和 Sn，求通项公式 an：（1） Sn5n 23n；（2）S n 2； 3【错解】由公式 an=sns n1 得：（1）a n=10n2; （2） 1【分析】应该先求出 a1，再利用公式 an=sns n1 求解.2【正解】 （1）a n=10n2; （2） 1()32nna2、忽视等比数列的前 n 项和公式的使用条件：例 2、求和：(a1)( a22) (a 33)( an
4、n) .【错解】S=(a(a 2a 3 an) (123n)= .(1)(1)2na【分析】利用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比 q 的取值不能为 1.【正解】S=(a(a 2a 3 an) (123n)当 a=1 时，S = ；当 时，S=1()(1)2na3、 忽视公比的符号例 3、已知一个等比数列 前四项之积为 ，第二、三项的和为 ，求这个等比数列na6的公比【错解】 四个数成等比数列，可设其分别为 则有 ，解得Q33,aq4162aq或 ，故原数列的公比为 或21q2122【分析】按上述设法，等比数列 的公比是 ，是正数，四项中各项一定同号，而原naq题中无此条件，所以增加了限制
5、条件。【正解】设四个数分别为 则 ，23,q4621aq426q由 时，可得0q2610,;当 时，可得546q变式、等比数列 中，若 ， ，则 的值na937a（A）是 3 或3 （B） 是 3 （C） 是3 （D）不存在【错解】 是等比数列， ， ， 成等比， 9，Qn57 )1(25a35a选 A【分析】 ， ， 是 中的奇数项，这三项要同号。错解中忽视这一点。3a57na【正解】C34、 (见手写 P1325 13)5、 (见手写 P1425 14)6、缺乏整体求解的意识例 6、一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，所有项的和为 234，求
6、7a【错解】设该数列有 项且首项为 ，末项为 ，公差为n1and则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。50346221adn()()【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列出 3 个方程，而方程所涉及的未知数有 4 个，没有将 作为一an1个整体，不能解决问题。事实上，本题求 ，而没有要求其他的量，只要巧用等差中a7项的性质， ，求出 即可。知识的灵活应用，来源于对知识系统的2137a13深刻理解。【正解】设该数列有 项且首项为 ，末项为 ，公差为 则依题意有n1and， 可得 ，代入(3)有 ，510346221adn()(
7、)()n136n13从而有 ， 又所求项 恰为该数列的中间项，a13a7a713268例 7(1)设等比数列 的全 项和为 .若 ，求数列的公比 .nnS9632Sq错误解法 ，,2963SQq1)(1)()( 961.0(） 整 理 得 q。1q24q,0)1(q2.120q 3336 和和4错误分析 在错解中，由 ，qaqa1)(21)()( 9631时，应有 。0q2(363和和 0和在等比数列中， 是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论01a公比 的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。q正确解法 若 ，则有 但 ，.9,6,3111aSS0即得 与题设矛盾，
8、故 .,2963Sq又依题意 963 qa1)(21)()( 9631 ,即 因为 ，所以 所以0q2(3和,0)(23q,013解得 .013q.4说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分。例题 7已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn.() 若 Sm， Sm2 ，S m1 成等差数列，证明 am，a m2 ， am1 成等差数列；() 写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 () S m1 S ma m1 ，S m2 S ma m1 a m2 由已知 2Sm2 S mS m1 ， 2(Sma m1 a m2
9、 )S m(S ma m1 )，a m2 am1 ，即数列a n的公比 q .12 12a m1 am，a m2 am，2a m2 a ma m1 ，a m，a m2 ，a m1 成等差数列.12 14() () 的逆命题是：若 am，a m2 ，a m1 成等差数列，则 Sm，S m2 ，S m1 成等差数列.设数列a n的公比为 q，a m1 a mq，a m2 a mq2由题设，2a m2 a ma m1 ，即 2amq2a ma mq，即 2q2 q10，q1 或 q .12当 q1 时，A0，S m， Sm2 ， Sm1 不成等差数列 .逆命题为假.例题 8已知数列a n满足 a1=
10、1，a 2=13， 612nnn（）设 的通项公式；,bb求 数 列（）求 n 为何值时， 最小（不需要求 的最小值）nna解：（I） 622, 111 nbaQ587)()16)( )1(6)(.211 2,)(,22 2nanb nbn bn个 等 式 相 加 ， 得将 这即数列b n的通项公式为（）若 an最小，则 0.111 nnnn b且即且注意 n 是正整数，解得 8n908)(7)1(2当 n=8 或 n=9 时，a n的值相等并最小例题 9已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称，且 f (1)=0（)求函数 f(x)的表达式；（)设数列a n满足
11、条件：a 1(1,2) ，a n+1=f (an)求证：(a 1 a2)(a31)+( a2 a3)(a41)+(a n an+1)(an+21) 1解：() 由 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称，所以x3+ax2+bx+c+(2x )3+a(2x) 2+b(2x)+c=2 对一切实数 x 恒成立得：a=3，b+c=3，对由 f (1)=0，得 b=3，c=0 ，故所求的表达式为：f(x )= x3 3x2+3x () a n+1=f (an)= an 33 a n 2+3 an (1)令 bn=an1，0” 、 “ ）8()3h ()h（5）裂项相消法：如果数列的
12、通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； 1()1nn ；()kk ， ；2112111()()kkk ；()2()(2)nnn ；1()!()! .2122 (1)1n nnn如（1）求和： （答： ） ；147(3)()L3（2）在数列 中， ，且 S，则 n_（答：99） ；na1n（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列 14，25，36， ，前 项和 nS= （答：(3)n） ；()n求和： （答： ）1112323nL21n8. “分期付款” 、 “森林木材”型应用问题(1)这类应用
13、题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必 “卡手指” ，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.18(2)利率问题：单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为 r，则 n期后本利和为： (1)(2)(1)nSprrpnrL（等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）(1)2n模型：若贷款（向银行借款） p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分 n期还清。如果每期利率为 r（按复利） ，那么每期等额还款 x元应满足：12(1)()()(1)nrxrxrxL（等比数列问题）.
