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1、第一章 集合与函数的概念,一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算1理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功例1(1)集合Ay|yx，By|yx2，则AB_.(2)集合A(x，y)|yx，B(x，y)|yx2，则AB_.解析(1)集合A是函数yx的值域，AR，集合B是函数yx2的值域，By|y0，ABy|y0故填y|y0,2熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果例2集合Ax|x2，Bx|4xp0，若BA，则实数p的取值范围是_,例3设全集Ua，b，c，d，e，若ABb，(UA)Bd，(UA)(UB)a，e，则下列结论中正确的为()AcA且cB
2、BcA且cBCcA且cB DcA且cB答案B,解析画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，ABb，故b填在A与B公共部分，(UA)Bd，故d填在A圈外，B圈内，又(UA)(UB)a，e，a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，cA且cB，选B.,3含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论讨论时要特别注意集合元素的互异性,4空集是任何集合的子集，解题时要特别注意例5集合Ax|x2xa0，B2,1，若AB，则实数a的取值范围是_,5新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么例6A、B都是非空集合，定义A*Bx|xabab，a
3、A，bB且bAB，若A1,2，B0,2,3，则A*B中元素的和为_解析由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素xabab，A*B1,7,2,11，其元素之和为21.,6熟练掌握ABABAABB及集合的运算是解决一些集合问题的基础例7(1)如果全集Ux|x25x60，xN，A2,3，B1,3,5，则U(AB)_，AUB_.(2)设Ax|xa0，Bx|ax10，且ABB，则实数a的值为()A1 B1C1或1 D1，1或0,解析(1)Ux|(xb)(x1)0，xNx|1x0)个单位，可以得到函数yf(xa)(yf(xa)的图象将yf(x)的图象上各点向上(下)平移a(a0)个单位
4、，可以得到yf(x)a(或yf(x)a)的图象(7)y|f(x)|的图象可由yf(x)的图象位于x轴及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折而得到yf(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与yf(x)图象相同，而yf(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可,例3已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数分析第(1)问，将a1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性,解析(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，f(
5、x)的对称轴为x1.x1时，f(x)取最小值1；x5时，f(x)取最大值37.(2)f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa，f(x)在5,5上是单调函数a5，或a5，即a5，或a5.,三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯1数形结合的思想例1设函数f(x)x22|x|1(3x3)(1)证明f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域,解析(1)f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，f(x)是偶函数(2)当x0，时，f(x)x22x1(x1)22，
6、当x0时，f(x)x22x1(x1)22，根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示,函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间3，1，0,1上为减函数，在1，0)，1,3上为增函数(3)当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2.当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2；故函数f(x)的值域为2,2,例2已知关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_解析设y1x24|x|5，y2m，由于y1x24|x|5为偶函数，画出x0的图象，再由对称性可画出x0时的图象，由图可见1m5时
7、方程有4个根1m0的解集为()A(，4)(4，)B(4,0)(0,4)C(，4)(0,4)D(4,0)(4，),例4函数ya|x|与yxa的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是()A(1，)B(1,1)C(，11，)D(，1)(1，)解析画出ya|x|与yxa的图象,2函数与方程的思想函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题要特别注意掌握一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布,方程()有两不等实根0，方程()有两相等实根0，方程()无实根0 Bk0解析设f(x)2kx22x3k2，由题意知kf(1)0，k0或k4，故选D.,3分类讨论的思想在求解数学问题中，遇到下列情
8、形常常要进行分类讨论涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；由运算的限制条件引起的分类由实际问题的实际意义引起的分类,数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的由图形的不确定性引起分类,例8若f(x)(m1)x2(m1)x3(m1)0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是()A(1，)B(，1),解析当m10时，显然成立当m10时，2，b2，比较ab与ab的大小解析令a2x，b2y，则x0，y0，ab(ab)(2x)(2y)(4xy)xyxy0，abab.点评将a2，b2的条件量化，化不等关系为相等关系，转化为数的正负判断，促成了问题的解决,
