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1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时120 分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项：1.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原
2、来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：V= Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。13如果事件 A，B 互斥，那么 P（A+B ）=P （A）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么 P（AB）=P （A）P（B ） 。第 I 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则 z 为A
3、3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析： .答案选 A。iiiiz 535)14(725)(712 另解：设 ，则,(Rbaiabiba71)2(根据复数相等可知 ，解得 ，于是 。72,15,3z532 已知全集 =0,1,2,3,4，集合 A=1,2,3,，B=2,4 ，则U（CuA ） B 为A 1,2,4 B 2,3,4C 0,2,4 D 0,2,3,4解析： 。答案选 C。4,20)(,40BACUU3 设 a0 a1 ，则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”，是“函数 g(x)=(2-a) 在 R 上是增函数”的3xA 充分不必要条件 B 必要不充
4、分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析：p：“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”等价于 ；10aq：“函数 g(x)=(2-a) 在 R 上是增函数 ”等价于 ，即3 2且 a1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案选 A。,20（4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽 样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1,450的人做问卷 A，编号落入区间451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（A）7 （B） 9 （
5、C） 10 （D）15解析：采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人，将整体分成 32 组，每组 30 人，即 ，第 k 组的号码为 ，令30l 930)1(k，而 ，解得 ，则满足 的759)1(45kz2562516k整数 k 有 10 个，故答案应选 C。解析：作出可行域，直线 ，将直线平移至点 处有最大值，03yx )0,2(点 处有最小值，即 .答案应选 A。)3,21( 62z（6）执行下面的程序图，如果输入 a=4，那么输出的 n 的值为（A）2（B）3（C ）4 （D）5解析： ；312,0, qpn；761,， 。54,252 qpn,答案应选 B。(7)若 ， ，则
6、sin =42， 37sin=82yx14yx4O （A） （B） （C ） （D）354734解析：由 可得 ，2， ,2，81sin12cos，答案应选 D。43cin另解：由 及 可得2， 7sin=8，4371691631i1cosin 而当 时 ，结合选项即可得 .答案42， cosincos,sin应选 D。（8）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f （x） ，当-3 x-1时，f（x）=-（x+2） 2，当-1x3 时，f（x）=x。则 f（1）+f（ 2）+f （3）+ +f（2012）=（A）335（B）338（C）1678（D）2012解析： ，而函数的2)
7、(,1),0)(,1)(,0)2(,1)( ffffff周期为 6，.385)()2(35)()2(1 fffL答案应选 B(9)函数 的图像大致为 解析：函数 ， 为奇函数，xxf26cos)( )(26cos)(xffx当 ，且 时 ；当 ，且 时 ；0x)(f 0f当 ， ， ；当 ， ，x)(xfxx2.)(xf答案应选 D。（10）已知椭圆 C： 的离心率为 ，双曲线 x-y1 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 c 的方程为解析：双曲线 x-y 1 的渐近线方程为 ，代入xy可得 ，则 ，164,222Sba )(422ba又由 可得 ，则
8、，23eba245于是 。椭圆方程为 ，答案应选 D。0,5b 102yx（11）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取 3 张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为（A）232 (B)252 (C)472 (D)484 解析： ,答案应选47285607216451424316 CC。另解： .47216214032141204 (12)设函数 （x）= ，g（x）=ax 2+bx 若 y=f(x)的图f像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),则下列判断正确的是A.当 a0B
9、. 当 a0, y1+y20 时，x 1+x20 时，x 1+x20, y1+y20解析:令 ，则 ，设 ，ba)0(3xba23)(bxaxFxxF3)(2令 ，则 ，要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像0ax32有且仅有两个不同的公共点只需 ，整理1)32()()( abbF得 ，于是可取 来研究，当 时，2374ab,2,，解得 ，此时 ，此时1x11x2,1y；当 时， ，解得0,221y3,ba3x，此时 ，此时 .答案应选x21y 0,2121yB。另解：令 可得 。)(xgf bax2设 bayx,12不妨设 ，结合图形可知，1 )0(abxy)0(yyx21x21 当
10、时如右图，此时 ，0a21x即 ，此时 ， ，即 ；同21x0121yxy021y理可由图形经过推理可得当 时 .答案应选 B。a,0211第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。（13）若不等式 的解集为 ，则实数k=_。解析：由 可得 ，即 ，而 ，所24kx6kx31x以 .2k另解：由题意可知 是 的两根，则 ，解得3,1x24k243k.2k（14）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E,F 分别为线段AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为_。解析： .6121311 DEFEDV（15）设 a0.若曲线
11、 与直线 xa ， y=0 所围成封闭图形的面积为 a，则 a=_。 解析： ，解得 .axdSaa 230230 49（16）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1） ，此时圆上一点 P 的位置在（0,0） ，圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时， 的坐标为_。解析：根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转了 弧度，此时点 的坐标为21P.)2cos1,sin2(,in)(OPyx另解 1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且 ，则点 P 的坐标为sinyx 23,PCD，即 .2cos1)23si(1inco
12、y )2cos1,sin(O三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。（17） （本小题满分 12 分）已知向量 m=（sinx，1） ，函数 f（x）=mn 的最大值为 6.（）求 A；CD （）将函数 y=f（x）的图象像左平移 个单位，再将所得图象各12点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的12图象。求 g（x）在 上的值域。解析：（）， 62sinco2sin32cossinco3)( xAxAxxAnmxf则 ;6（）函数 y=f（x）的图象像左平移 个单位得到函数12的图象，6)12(siny再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函
13、数 .)34si()(xg当 时， ， .25,0x 1,2)34sin(,67x6,3)(xg故函数 g（x）在 上的值域为 .6,另解：由 可得 ，令 ， )34sin(6)(x)cos()(xxg0)(x则 ，而 ，则 ，234Zk245,024于是 ，367sin)(,6sin)(,si)0( g故 ，即函数 g（x）在 上的值域为 .6x ,（18） （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB CD， DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF。zx y （）求证：BD平面 AED；（）求二面角 F-BD-C 的余弦值。解析：（）
14、在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=60，CB=CD,由余弦定理可知 ,2022 3)18cos(CDABCBDCBD即 ,在 中，DAB=60， ，则AB3为直角三角形，且 。又 AEBD， 平面 AED，A平面 AED，且 ，故 BD平面 AED；EAEDI（）由（）可知 ，设 ，则 ,建立如图CB13BDCA所示的空间直角坐标系， ，向量 为)0,23(),0(,F )1,0(n平面 的一个法向量.BDC设向量 为平面 的法向量，则 ,即 ，),(zyxmBDF0FBmD023zyx取 ，则 ，则 为平面 的一个法向量.1y1,3zx)1,3(m，而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角，则5,cosnm 二面角 F-BD-C 的余弦值为 。5（19） （本小题满分 12 分）现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX解析：（） ；367214)3(2CP（） 5,1,0X,91324)(,12)()1(.6)(4)( 12
