解析几何(含答案)

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1、1解 析 几 何1 （2006 年全国联赛题）给定整数 n2,设 是抛物线 与直线0m0(,)yx21ynx的一个交点，试证明：对于任意正整yx数 m，必存在整数 k2,使 为抛物线0(,)m与直线 的一个交点。21ynxyx证明 因为 与 的交点为21nyx显然有 若20 4,onxy0.xn为抛物线 与直线0(,)m21ykx的一个交点，则 记yx 0,mx则001,mkx 101()mmkxk（1）1(2)mnk由于 是整数，1n也是整数，所以根22200()kxxn据数学归纳法，通过（1）式可证明：对于2一切正整数 是正整数。01,mkx现在对于任意正整数 m 取使 得01,mkx与

2、的交点为 。21ykxyx0(,)xy2椭圆 上有 16 个点，顺次为点22154xy，点 F 为左焦点，每每相邻两1216,ppL点与点 F 连线夹角都相等（） 。设 到左准线的122316pppLip距离为 ，求id16iid分析 椭圆的半长轴 半短轴 b=4，从5,a而 左焦点 离心率23,cab(30)F以椭圆性质 为解题的突破,5e iiped口。解 如图， 设5,43,abc1122316. .8xFpFpppFL3（1）1cos(1)8iFMdpFi263ac由椭圆的定义，得 .5iiiipFedda代入（1） ，有 3(1)16cos.583iiia解得 3(1)53cos(1

3、,2,6).168i iaidL故16 161()cs80i iii i=169()3cos.iia又161(1)cos8iia162sincos(1)8i6i ia16 (1)sin(1)sin882sini iaa 所以116sin()sin()08162iaa 1613.iid43在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点A（0， ） ，B（1，0）C（1，0） ，点 P43到直线 BC 的距离是该点到直线 AB，AC距离的等比中项。 （1）求点 P 的轨迹方程；（2）若直线 L 经过 的内心（设为ABCD 点） ，且与点 P 的轨迹恰好有 3 个公共点。求直线 L 的斜率 K 的取值范围。

4、分析 根据距离关系，列出方程，再将交点的问题转化为方程解得问题，不难得出本题解题途径。解 （ 1）直线 AB，AC，BC 的方程依次为44(),(1),033yxyxy点 到 AB，AC ，BC 的距离依次为(,)Pxy1|434|5d2|434|5dxy3dy5且 ，依据设得1230d即22|6(4)|5xyy222130或 2226(4)5xyy化简得点 P 的轨迹方程为： 圆与双曲线22: 320Sxy，且不含 B，C 两22:8178Ty点。（2）由（1）知，点 P 的轨迹包含两部分（1）与2320xyy（2） （不含22817180xyyB，C 两点）由 ，知 的内心 D 是适合题设

5、123dd条件的点，解得 ，且知它在圆 S 上。10,2D直线 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共l点，所以，直线 的斜率存在。l6设直线 的方程为 （3）l12ykx1）当 时，直线 与圆 S 相切，有唯一0kl的公共点 D ，此时，直线 平行于 轴，12yx表明直线 与双曲线 有不同于 D 的两个公lT共点，所以，直线 恰好与点 P 的轨迹有 3l个公共点。2) 当 时，由于 B，C 两点不在轨迹上，0k所以 ，这时，直线 与点 P 的轨迹恰12l好有 3 个公共点，必有直线 与圆 S 有两个l不同的交点，且直线 与双曲线 有且只有lT一个公共点，即方程组 有2281718012x

6、yyykx且只有一组实数解，消去 并化简得该方程有唯一实数解225(817)04kxk得充要条件是 （4）2817k7或 （5）225(5)4(817)04kk解（4）得 ，解（5）得317k2k综上所述，直线 的斜率 K 的取值范围是有l限集2342,17o4、如图，双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过x 12,l右焦点 F 垂直于 的直线分别交 于 A，B1l 12,l两点。又已知该双曲线的离心率 5e（1）求证： 依次成等差数列,OABurrur（2）若 F ，求直线 AB 在双曲线上所(5,0)截得的弦 CD 的长度。分析 （1）设属双曲线的方程为先得出

7、所满足的关系式，22xyab,abc8再寻求 之间的关系；（2）在|,|,|OABurrur（1）的基础上求出 的值，得到双曲,abc线的方程和直线 AB 的方程，再来求解。解 （1）如图 5，由已知（1）22 225 4, ,445ce aca即 故从而 （2） 222215bcc故15225bca设 ，则 ，故AOFBF1tan2即2tan4tantan213|43|ABOur令 ，则 ，|3()OAmour |4,ABmur|5ur满足 ,所以|2|Bur9依次成等差数列。|,|,|OABOurrur（2）由已知 代入（1） （2）得25,c于是双曲线的方程为 。224,1,ab2214

8、xy设直线 AB 的斜率为 ，则ktantancot2.kBFXAFO于是直线 AB 的方程为： 联(5),yx立 消 得222(5)14yxxyy，故弦 CD 的长度21535840xx22 (35)41584|15 3CDk5、已知抛物线 C： 与直线 L：21yx没有公共点，设点 P 为直线 L 上的1ykx动点，过 P 作抛物线 C 的两条切线，A，B为切点。10（1）证明：直线 AB 恒过定点 ；Q（2）若点 P 与（1）中的定点 的连线交抛物线 C 于 M，N 两点，证明：，PMN分析 （ 1）设 ，120(,)(,),(,1)AxyBxyxk分别求出抛物线 C 在 A，B 两点处

9、的切线方程，得到直线 AB 的方程（用 和 表示） ，0xk再根据 的任意性说明直线 AB 过定点。0x（2）设 则可知要证34(,)(,)MyNxy，只需证明 ，即证|PQN30344xk3403402()()2xkxkx证明 （1）设 ，则 由 得1(,)Ay211.yx2yx，所以yx1|xy于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为，即 。11()yx1yxy设 则有0,Pk001k设 ，同理有 所以 AB 的方2()Bxy 2xxy程为 001kxy即 ，所以直线 AB 恒过定点()()x,Qk11（2）PQ 的方程为 与抛物线02()1kxyk方程 联立，消去 ，得21yx设220

10、04()kkxkx则34(,)(,)MyNxy（1）0342,kxx2034()kxkx要证 只需证明 ，即|PMQN30344xxk（2） 3403402()()2xkxkx由（1）知（2）式左边20 00()44()2kxkkxkx2000001()4()(24)2()0kxkxkkxx 故（2）式成立，从而结论成立。6、如图，过抛物线 上的一点2yxA（1，1）作抛物线的切线，分别交 轴于x12D，交 轴于 B，点 C 在抛物线上，点 E 在y线段 AC 上，满足 ；点 F 在线段 BC 上，1AE满足 ，且 ，线段 CD 与 EF 交于点2FC12P，当点 C 在抛物线上移动时，求点

11、P 的轨迹方程。分析 利用抛物线切线的求法，结合等式，列出方程，不难求出动点 P 的轨12迹方程， ，对 的不同求法，应有不同的1,2解题途径。解法 1 过抛物线上点 A 的切线的斜率为：，故切线 AB 的方程为 ，于2|xy 21yx是 B， D 的坐标分别为 所以 D1(0,)(,0)BD是线段 AB 的中点。设 则由 知，2012(,)(,)(,)(,)PxyCxEyFxy1AEC由 ，得21011,x2B2200,1xxy所以，EF 所在直线方程为：化简得21010202 11xxy22210200()()()3xyxx13（1）当 时直线 CD 的方程为 02x 201xy（2）联立

12、（1） （2）解得 消去 ，得 P 点轨02013xy0x迹方程为 ，21(3)yx当 时，EF 的方程为 ，02x 21233()44yxCD 的方程为 12x联立解得 也在点 P 的轨迹上。因 C(,),)y与 A 不能重合， 所以所求轨迹方程021,3x为 。21(3)yx解法 2 过抛物线上点 A 的切线斜率为：，故切线 AB 的方程1|xy 21yx于是 B，D 的坐标分别为 所以 D 是(0,)(,B线段 AB 的中点。令则1122,CACBrttPEF123t因为 CD 为 的中线，所以 ， 2CABDCBSS14而 12 2CEFPCFABADBSSt12()tr1213trt

13、所以 ，故 P 是 的重心。3r设 ，因点 C 异于 A，则 ，故重20(,),)PxyC01x心 P 的坐标为消去 得点 P 的轨2000112(), ,333xxy0x迹方程 21(3)yx说明解析法解决几何问题，最大优点是将几何中隐含的等量关系全部用代数式凸显出来。7、已知过点（0，1）的直线 L 与曲线 C：交于两个不同点 M 和 N，求曲线()yxC 在点 M、N 处切线的交点轨迹。分析 可设出直线 的方程和点 M，N 的坐l标，根据已知条件列出关系式进行推导。解 设点 M，N 的坐标分别为 ，曲12(,)(,)xy和线 C 在点 M，N 处的切线分别为 l其交点 P 的坐标为 ，若

14、直线 的斜率为 ，(,)Pxy k15则 的方程为 ，l 1ykx由方程组 消去 ，得1xyky21(1)0xkx即由题意知，该方程在 上有两个相异的(0,)实根 故 ，且12,xk（1）4()0（2）12xk（3）由此解得 120 314k对 求导，得 ，yx21yx则 ，于是直线 的方程为12 |,|1xxy1l，化简得11112 21 1(),()()y xx即（4） 21()yx同理可求得直线 的方程为 2l 21()yx（5）（4）（5） ，得 ，因为 ，2112()0Px12x故有 （6）12Px经将（2） （3）两式代入（6）式得 2Px16（4）+（5）得 21122()()PPyx（7）其中 ，1212x2211121()xx1212()xx()k代入（7）式得 ，而 ，得(32)P