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1、 1二次函数之面积专题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用“_”的线几何中处理面积问题的思路：_、_、_2. 坐标系中面积问题处理方法举例：割补求面积（铅垂法）： h aah MMPBAPBA12APBSa12APBSa转化求面积：QPBAA BPQBPQSABPS若 P、 Q 在 AB 同侧 若 P、 Q 在 AB 异侧则 PQ AB 则 AB 平分 PQ 2二、精讲精练1. 如图，抛物线经过 A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的点（不与 B、C 重合） ，过点 M 作 MNy 轴交线段 BC
2、于点 N，若点 M 的横坐标为m，请用含 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 MB、MC，是否存在点 M，使四边形 OBMC 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由 BCAOMNxyBCAOMNxy 32. 如图，抛物线 与直线 交于 A、C 两点，32xy1xy其中 C 点坐标为(2，t)（1）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 面积的最大值（2）在直线 AC 下方的抛物线上，是否存在点 G，使得？如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请6AGCS说明理由 A BPO xy CCy xOPBA 43. 抛物线 y
3、=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，与直线 y=-x+p 交于点 A 和点 C(2,-3).（1）若点 P 在抛物线上，且以点 P 和 A、C 以及另一点 Q为顶点的平行四边形 ACQP 的面积为 12，求 P、Q 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，若点 M 是 x 轴下方抛物线上的一动点，当PQM 的面积最大时，请求出PQM 的最大面积及点 M 的坐标 yxDOACByxDOACB 54. 如图，抛物线 y-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点M，连接 PB（1）抛物线上是否存在异于点 P 的一点
4、Q，使QMB 与PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R，使RPM 与RMB 的面积相等？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，说明理由 PAOCMBxyPAOCMBxy 65. 如图，己知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(1，0)和点B，与 y 轴交于点 C(0，-3)（1）求抛物线的解析式；（2）如图，己知点 H(0，-1)，在抛物线上是否存在点 G （点 G 在 y 轴的左侧） ，使得 SGHC=SGHA？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 AOCB xyHHGyxB COA三、回
5、顾与思考_ 7_【参考答案】一、 知识点睛1.横平竖直 2.公式、割补、转化二、 精讲精练1.解：（1） 23yx（2）点 M 在抛物线上，M（ m， ）2由点 B（3,0） ，C（0,3）可得直线 BC 解析式：y= -x+3N（ m，-m+3）MN= 2 233m（ ）（3）过点 C 作 CEMN 于点 E，直线 MN 交 x 轴于点 F，则 FEBCAOMN xy 8211 22 1 39 BCMNBMSSEFNOBm122BOCSS 四边形 OBMC 22393638BCMOmm 02）23则 F(n，n+1)， 221 3ACS n ， ，解得 n=3 或 n=-2G6236n 12
6、,0,53.解：（1）由 y=x2-2x-3，可知 A（- 1，0） 、B（3，0）由 C（ 2，-3）在 y=-x+p 上，可知 y=-x-1过点 P 作 PEx 轴，交 AC 于点 E.设 P（m ，m 2-2m-3） ，则 E（m，-m-1）平行四边形 ACQP 面积为 12 6ACPS当点 P 在直线 AC 上方时，如图 1， 10xyA BODCPE图 1632PSSCEAPCPE=4，此时 PE= m2-2m-3-（-m-1）= m2-m-2m2-m-2=4，解得 m1=3，m 2=-2P 1（3，0） 、P 2（-2，5）由平行四边形对边平行且相等Q1(6， -3)、Q 2(1，
7、2) 当点 P 在直线 AC 下方时，如图 2，xyA BODCPE图 2 631ESSCPAECP 11PE=4，此时 PE=-m-1 -（m 2-2m-3）= -m2+m-2 -m2+m-2=4，方程无解.因此，满足条件的 P，Q 点是 P1(3，0) ， Q1(6，- 3)或 P2(-2，5)，Q 2(1，2) （2）由（1）可知，PQ=AC= ，23GM QNxyA B(P)ODCHF过 M 作 MFPQ 于点 F，则 MFPSQM2321当直线 MN 与抛物线只有一个交点时，MF 最大，此时面积最大过点 M 作 MN/PQ，交 y 轴于点 N，过 N 作 NHPQ 于 H设直线 MN
8、 为 y=-x+n，则由令=0，此时 n= ，N（0， ）32xy 413413得方程 ，0412x M（ ，- ）25 12MF=NH= 825)413(2NG 73MFSPQPQM 最大面积为 ，此时点 M 为（ ，- ）87521454.解：（1）存在，坐标为 Q1（2，3）、Q 2（ ，37）、Q 3（ ， ）727理由：如图所示由抛物线表达式：y =-2x2+2x+3A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、P（1， 4）S QMB =SPMB PQ 1 BC，Q 2 Q3BC又BC：y=-x+3设 PQ1：y=-x+b PQ1 过点 P（1，4）PQ 1： y=-x+5 13得
9、即yx253x230x 1=1（舍） x2=2Q 1（2，3）又 PQ 1：y=-x+5 ，E（0，5） SQMB =SPMBCF =CE=2Q 2Q3 ：y=-x+1得 即21x230x 1= x2=37317Q 2（ ， ）Q 3（ ， ）172（2）存在，坐标为 R（ ，2）1理由： 过点 P 作 PHMR 于点 H过点 B 作 BIMR 于点 I 14连接 PB 交 MR 于点 OS PMR =SBMRPH=BI易证PHO BIO PO BO 又P（1，4）B（3，0）O（2，2） 又 M（1，2）M O ：y=2得 即x23x210x 1= x2= （点 R 在第一象限，舍去）1R（
10、 ，2）5.（1）抛物线表达式为 y=x2+2x-3（2）存在GHC 和GHA 有一公共边 GH，如果以 GH 为底，对应的高相等，则 SGHC=SGHAi）如图 1， 15图1HGyxB COA当点 A、C 在 GH 的同侧，ACGH 时，S GHC=SGHA A(1，0)， C(0，-3)直线 AC 的表达式为 y=3x-3又H(0，-1)直线 GH 的表达式为 y=3x-1 32xy 4 或 5（舍）G（-1，-4）ii）如图 2， 16图2G PAOCB xyH当点 A、C 在 GH 的异侧，线段 AC 的中点在 GH 上时，SGHC=SGHA A(1 ，0)， C(0，-3)线段 AC 的中点 P 为),(231又H(0，-1)此时直线 GH 的表达式为 y=-x-12xy173或 （舍）G),(2综上 G1（-1，-4），G 2173
