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1、1习题 1.1 解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次CBA,出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。CBA,解： (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正 )，（正，反） ； （正，正），（反，反）A(正，正 )，（正，反），（反，正）C2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数DCBA,之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。CB,解： ； )6,()2,(16,)2(,)(,12)6(1)( LLL；,32,A；,4,5；
2、；),( )4,6(2),15(6,)2(,1DCB3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下, CBA,事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1） ； （2） ； （3） ；CBA CBA（4） ; （5） ；CBA（6） ； （7） 或B（8） ； （9）4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明321,下列事件所表示的结果： , , , , , 2A3231.3121A解
3、：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA,， ， .A解：如图：2BCAB CBAABC ; ;6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。,BA解：不一定成立。例如： ， ， ，5,4335,4C那么， ，但 。7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。, )()(解：不一定成立。 例如： ， ， ，,A6,7,那么 ，但是 。3)(CBA3B8. 设 ， 21(P，试就以下三种情况分别求 ：)(ABP（1） ，
4、 （2） ， （3） .81解：（1） ；2)()()( APBAB（2） ；61()P（3） 。83)()()(9. 已知 ， ， 求事件4CBA1BCPA0)(AB全不发生的概率。C,CBACBA3解： )(1)( CBAPCBAP= )()()1 AP830604110. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”= “全红”； A“全绿”； “全黄” ； “无红”； “无绿”； “三次颜色BCDEF相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同” 。GH解：； ；2713)()(PA 2783)(P； ；92
5、71F923!)(G.8)()(H11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次），试求：（1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；（2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。解：一次拿 3 件：（1） ； （2） ；058.1298CP 0594.310982982CP每次拿一件，取后放回，拿 3 次：（1） ； （2） ；76.32.3每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：（1） ；058.908P（2） 46712. 从 中任意选出 3
6、 个不同的数字，试求下列事件的概率：,L， 。501与三 个 数 字 中 不 含A502或三 个 数 字 中 不 含A4解：；157)(3081CAP或4219154)(3082CAP13. 从 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的,L概率。解： 9054102839P14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率：（1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份；（2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份；（3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；解：（1） ； （2） ；1.026&P061.1264&CP（3） 73.41C15. 从一副扑克牌（52 张
7、）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。解：或602.35219414&CP 602.135214&CP5习题 1.2 解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令 “取到的是 等品”，iAi3,21i。9.06)()()(33131APP2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”AB51)(1)(|( 20624CAPBP3. 为了
8、防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效的概率为 0.85，求（1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率；（2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率；（3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。解：令 “系统（）有效” ， “系统（）有效”AB则 85.0)|(,93.0)(,.)( APBP（1） 862.05.)92.1(3.| （2） )()( （3） 86.09.15)| &BPA4. 设 (0，证明事件 与 独立的充要条
9、件是AB)|()|(P证： 与 独立， 与 也独立。Q)(|(),|(PAB|： 1010A又 )()|(,)|( PB而由题设 | ABP6即 )()()(1 ABPABP，故 与 独立。)(5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都B是 ，求 和 .4)(解： ，又 与 独立41BAPQQB41)()()( P)(),(2APBA即 。16. 证明 若 0， 0，则有)()(（1） 当 与 独立时， 与 相容；B（2） 当 与 不相容时， 与 不独立。AA证明： 0)(,)(P（1）因为 与 独立，所以B， 与 相容。（2）因为 ，而 ，)()(B， 与 不独
10、立。)(A7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。C,AUC证明：因为 、 、 相互独立， )()(PBPIU)()()( PBAA与 独立。C8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，321,那么 9.0)(,8.)(,7.0)( 32APAP令 表示最多有一台机床需要工人照顾，B7那么 )() 321321321321 AAPB90. 1.087.0.79.08.87 )()() 321P9. 如果构成系统的每个元件能正常工
11、作的概率为 ，（称为元件的可)(p靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。解：令 “系统（）正常工作” “系统（）正常工作”AB“第 个元件正常工作”，ii ni2,1L相互独立。nP21,)(L那么)()212 nA)2(2()( )(22111 21nniiiini nnnPPAAP LL)()() 21 nABLnnnii iiiini ini PPA)2(2 )()(1110. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人购买 1 张，求（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；（2） 第二人中奖的概率。解：令 “第 个人中奖”，iAi3,2i(1) )(13213
12、21AP注：利用第 7 题的方法可以证明 与)(iniA)(jnj时独立。j系统 I1 2 nn+1 n+2 2n系统 II1n+12n+2n2n8)()()( 321321321 APAP| )|()|(213121 21312AP859406589604或 312CP（2） )|()|()( 1211212 APAPA5940611. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌
13、患者的概率。解：令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”BA那么， 04.)(,1.0)|(,95.0)|( BPPA（1） |BP3.96.4. （2） )|()|(|)|( A08.196.05.04. &12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事件的概率：（1）取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品；（2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品。解：令 “5 件中有 件优质品”，iBi ,432,0i（1） 387.).0(3)(22&CP（2） )(| 021 BPiU1.7
14、.1)(502913. 每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取 1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1 件正品被误检是次品的概率是 2%，1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算：（1）抽取的 1 件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。解：令 “抽取一件产品为正品” A“箱中有 件次品”，ii2,10i“该箱产品通过验收”B（1） 9.3)|()( 020 ii ii iAPP（2） )|(B87.5.198.14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调
15、试后以概率 0.80 可以出厂，并以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：)2(n（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有 2 件不能出厂的概率；（3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。解：令 “仪器需进一步调试” ； “仪器能出厂”AB“仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”A显然 ，B那么 8.0)|(,3.0)(P24.3所以 907.A令 “ 件中恰有 件仪器能出厂”，ini ni,1L（1） nB)94.0(（2） 22222 )6.()4.()6.(nn CCP（3） nnnk BP)94.0(01 111015. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 ，试求以下事件p的概率：（1）直到第 次才成功；r（2）第 次成功之前恰失败 次；k（3）在 次中取得 次成功；n)1(nr10（4）直到第 次才取得 次成功。n)1(nr解：（1）
