《解三角形导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解三角形导学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600661高三 年级下册 数学 科导学案学生：黄荣俊 课题名称 解三角形 时间 2013 年 7 月 29 日课型 复习 课时 3 主备人 王瑞 审核人教学目标：1熟练掌握正弦定理、余弦定理的内容及变形公式。2熟练掌握几类三角形的解法，能对已知 a ,b,A 型的解三角形问题作出解的个数的讨论。3能解决一些简单的三角形度量问题。教学重点：灵活解决三角形问题。解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1直角三角形中各元素间的关
2、系：在 ABC 中， C90， AB c， AC b， BC a。（1）三边之间的关系： a2 b2 c2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系： A B90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcos B ，cos Asin B ，tan A 。cacba2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C 的对边。（1）三角形内角和： A B C 。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（ R 为外接圆半径）cbAa2sinisin（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两
3、边与它们夹角的余弦的积的两倍 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600662a2 b2 c22 bccosA； b2 c2 a22 cacosB； c2 a2 b22 abcosC。3三角形的面积公式：（1） aha bhb chc（ ha、 hb、 hc分别表示 a、 b、 c 上的高） ；S1（2） absinC bcsinA acsinB；214解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广
4、义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；2sinco,2ssin
5、CBACBA（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600663二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1 （1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；ABC032.A081.B42
6、.9a（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，abA01边长精确到 1cm） 。点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型 2：三角形面积例 2在 中， ， ， ，求 的值和 的ABCsincoA2C3ABAtanBC面积。 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600664以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运
7、算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC 中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边长，已知 a、 b、 c 成等比数列，且 a2 c2=ac bc，求 A 的大小及 的值。cbsin分析：因给出的是 a、 b、 c 之间的等量关系，要求 A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值。2 cBbsin评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型 4：正、余弦定理判断三角形形状例 4在 ABC 中，若
8、 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600665点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最ABCABC、 、 cos2BCA大值，并求出这个最大值。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，
9、通过三角函数的性质求得结果。题型 6：正余弦定理的实际应用例 6 （2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075， 03，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km， 21.414， 62.449） 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只
10、要掌握 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600666基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、 B、 C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、 b；（2）已知两边和夹角（如 a、 b、 c） ，应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、 A） ，应用正弦定理求 B，由 A+
11、B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a、 b、 c，应余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角学中的射影定理：在ABC 中， ，caboss3两内角与其正弦值：在ABC 中， ，ini4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。易错点例题例题 1.若 ABC的三个内角满足sin:sin5:13，则 ABC （ ）（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.例题 2.在ABC 中，
12、内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 23abc，sin23siCB，则 A=( )（A） 0 （B） 06 （C） 012 （D） 015 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600667【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。例题 3.（2010 湖北理数）3.在 ABC中，a=15,b=10,A=60，则 cosB=A 23 B C 63 D 考点例题。例题 1.（2010 广东理数）11.已知 a,b,c 分别
13、是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若a=1,b= 3, A+C=2B,求 sinC例题 2.（2009 湖南卷文）在锐角 ABC中， 1,2,BA则 cosC的值等于 ， AC的取值范围为 . 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600668例题 3.（2009 全国卷理）在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c，已知 2acb，且 sinco3sin, 求 b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2acb左
14、侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinco3sin,ACA过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例题 4在 ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差数列，求 2tan3ta2nCA的值。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案快乐学习，快速提分，快人一步！地址：塘厦镇三正半山豪苑雅景园 1 幢二号 成才热线：076986850917 830600669例题 5.（2009 四川卷文）在 ABC中， 、 为锐角，角 A
