点线面关系题型清晰___练习题(有答案)

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1、1/a/ab点线面位置关系总复习 知识梳理一、直线与平面平行1.判定方法（1 ）定义法：直线与平面无公共点。（2 ）判定定理：（3 ）其他方法： /2.性质定理： /ab二、平面与平面平行1.判定方法（1 ）定义法：两平面无公共点。（2 ）判定定理： /abaP/（3 ）其他方法： ; /a/2.性质定理：/三、直线与平面垂直（1 ）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。（2 ）判定方法 用定义. 判定定理: abcAab/2/ab 推论: /ab（3 ）性质 a四、平面与平面垂直（1 ）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互

2、相垂直。（2 ）判定定理 a（3 ）性质性质定理 lal lPA垂 足 为 Al lP “转化思想”面面平行 线面平行 线线平行面面垂直 线面垂直 线线垂直求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OAl，OBl ，则AOB 叫做二面角 的平面角例 1如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA 底面 ABC，AB BC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC 于 D，交 SC 于 E，又SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE 和 BDC 为面的二面角的度数。求线面夹角定义：斜线和

3、它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。31ABCD11/BADC平 面 平 面例 1：在棱长都为 1 的正三棱锥 SABC 中，侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角是_例 2：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是_；BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是 _；CC1 与平面 BC1D 所成的角的大小是_； BC1 与平面 A1BCD1 所成的角的大小是_； BD1 与平面 BC1D 所成的角的大小是 _；例 3

4、：已知空间内一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC 两两夹角为 60，试求 OA 与平面 BOC 所成的角的大小求线线距离说明：求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线 a、 b距离，先作出过 a且平行于 b的平面 ，则b与 距离就是 a、 b距离 （线面转化法） 也可以转化为过 平行 的平面和过 b平行于 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离 （面面转化法） (3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(4)（构造函数法）常常

5、利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求例：在棱长为 a的正方体中，求异面直线 BD和 C1之间的距离。 线面平行（包括线面距离）例：已知点 S是正三角形 AC所在平面外的一点，且 SBA， G为 SAB上的高， D、 E、 F分别是 AC、 B、 的中点，试判断 SG与平面 EF内的位置关系，并给予证明面面平行（包括面面距离）例 1：已知正方体 ，求证例 2：在棱长为 a的正方体中，求异面直线 和 1之间的距离4 面面垂直例 1：已知直线

6、 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面 PAC平面 PBD。 例 2： 已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆 O 的直径，C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证：平面 PAC平面 PBC。 课后作业：一、选择题1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直2.若 m、n 是两条不同的直线， 、 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ()A.若 m， ，则 mB.若 m，n，mn，则 C.若 m，m ，则 D.若 ， ，则 3.(改编题) 设 P 是ABC 所在平面外一

7、点，P 到ABC 各顶点的距离相等，而且 P 到ABC 各边的距离也相等，那么ABC ( )A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是 A、B、C 所述的三角形4.把等腰直角ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 BADC，则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ()A. B. C.1D.222 335.如图，已知ABC 为直角三角形，其中ACB 90 ，M 为 AB 的中点，PM 垂直于ACB 所在平面，那么()A.PAPBPC B.PAPBPCC.PAPBPC D.PAPBPC二、填空题：6. 正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，高为 2，E 是边 BC

8、 的中点，动点 P 在表面上运动，并且总保持 PEAC，则动点 P 的轨迹的周长为.7. 、 是两个不同的平面，m 、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .三、解答题11.如图(1)，等腰梯形 ABCD 中，AD BC ，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点，如图(2)，将ABE 沿 AE 折起，5,12345,OPABCDMNABPCMNP如 图 ， 已 知 矩 形 所 在 平 面 。 分 别 是 的 中 点 。（ ） 求 证 ： 面（ ） 求 证 ：（ ） 若 求 证 ： 面使二面

9、角 BAEC 成直二面角，连接 BC，BD，F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的中点.(1)求证：AEBD；(2) 求证：平面 PEF平面 AECD；(3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC？并说明理由.12.12.如图所示，已知BCD 中，BCD90，BCCD1，AB平面 BCD，ADB60，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 (0 1).AEAC AFAD(1)求证：不论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC；(2)当 为何值时，平面 BEF平面 ACD？13.如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC，P、Q 分别为线段 AB、CD 的中点，EP平面 ABCD.(1)求证：DP 平

10、面 EPC；(2)问在 EP 上是否存在点 F 使平面 AFD平面 BFC？若存在，求出 的值.FPAP6参考答案 求二面角分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解：在 RtSAC 中，SA=1，SC=2，ECA=30，在 RtDEC 中，DEC=90， EDC=60 ， 所求的二面角为 60。 求线线距离解法 1：（直接法）如图：取 BC的中点 P，连结 D、 1B分别交 AC、 1于 M、 N两点，易证： MN/1， 1， 为异面直线 A与 1B的公垂线段，易证：aDB31小结：此法也称定义法，这种解法是作出

11、异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大解法 2：（转化法）如图： /C平面 1， A与 B的距离等于 AC与平面 B1的距离，在 1ORt中，作斜边上的高 OE，则 长为所求距离，a2， 1，B31，aBOE31小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离7解法 3：（转化法）如图：平面 1ACD/平面 B1， 与 的距离等于平面 1ACD与平面 B1的距离 1B平面 1，且被平面 和平面 三等分；所求距离为a31小结：这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4：（构造函数法）如图：任取点 1BCQ，作 R于 点，作 ACPK于 点，设 xR，则 xaR， K，且 22R22K则22)

12、(1xaQ 2231)(3ax，故 K的最小值，即 AC与 1B的距离等于 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离解法 5：（体积桥法）如图：当求 与 1的距离转化为求 与平面 BCA1的距离后，设 C点到平面 BA1的距离为 h，则 11BCACV223)(43ah，ah即 与 1的距离等于 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体 的高，然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到 线面平行例：8分析 1：如图，观察图形，即可判定 /SG平面 DEF，要证明结论成立，只需证明 SG与平面 DEF内的一条

13、直线平行观察图形可以看出：连结 C与 相交于 H，连结 ， 就是适合题意的直线怎样证明 FHSG/？只需证明 是 的中点证法 1：连结 交 DE于点 ， E是 ABC的中位线， /在 G中， D是 的中点，且 AGDH/， H为 C的中点 F是 S的中位线， SF/又 G平面 DE， H平面 DE， /平面 分析 2：要证明 /S平面 F，只需证明平面 SAB/平面 DEF，要证明平面 EF/平面 SAB，只需证明FSA/， EB而 A/， E/可由题设直接推出证法 2： 为 C的中位线， / EF平面 SAB， 平面 SAB， /平面 同理： D平面 ， FDEI，平面 SAB/平面 ，又

14、SG平面 AB， G平面 F 面面平行例一：证明： 1-DCBA为正方体， BCAD1/， 又 C1平面 1， 故 /平面 19同理 /1BD平面 C1 又 11DBAI， 平面 A平面 例二：根据正方体的性质，易证： 111/ DCBACDBA平 面平 面连结 ，分别交平面 1和平面 1于 M和 N因为 1和 分别是平面 的垂线和斜线， AC在平面 BD内， BAC由三垂线定理： BAC1，同理： D1 1平面 D，同理可证： A平面平面 和平面 1间的距离为线段 MN长度如图所示：在对角面 1AC中， O为 1的中点， 为 AC的中点aNM311 BD和 C1的距离等于两平行平面 BDA1和 1C的距离为a3 面面垂直例 1：例 2： AB是 圆 O的 直 径C是 圆 周 上 异 于 、 的 一 点 CAP平 面平 面 P平 面 ， 平 面 IACB平 面 PAC平 面 平 面 平 面 PBC。10作业：一、选择题：1. D 2. C 3. C 4