浅析排列组合的经典十二问

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1、1浅析排列组合的经典十二问楚雄东兴中学 冯显林在现行高中新课标人教版选修 2-3第一章计数原理中安排学习排列组合知识；排列组合知识，既是高中数学的重点也是高中数学的难点，更是今后进一步学习“二项式定理”及“随机变量及其分布”的基础，因此学好排列组合显得尤为重要。本文将从以下几类典型的问题入手，探寻解题方法，供同学们参考，给同学们借鉴，让同学们从中受到启发，最终帮助同学们突破难点，度过难关，提升学习效率。以下具体说明。一、元素不受限可重复排列问题-“分步乘法计数原理”例 1、有 5 个班级选 3 个风景区旅游，的不同的选法是 还是 ？533分析：关键词是：班级选风景区；因此，1 班有 3 种不同

2、的选法，2 班有 3 种不同的选法，3 班有 3 种不同的选法，4 班有 3 种不同的选法，5 班有 3 种不同的选法；依据分步计数原理知，符合题意的选法有 33333= 种。5点评：这是一个元素不受限且可重复排列问题，即 5 个班可同时选一个，两个，或者三个风景区旅游不受任何限制。二、特殊元素或特殊位置问题（受限问题）-“优先法”例 2、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表，要求数学课排在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为 。 （以数字作答）分析：首先应注意几个关键词：数学课排在前 3 节，英语课不排在第 6 节，所以英语、数学两门课

3、程受限，是特殊元素，因此应优先考虑。以下将英语课分成两类：（1）当英语课排在前 3 节时，有 种排法，此时数学课有 种排法，而余下 4 门课13A12A全排列，有 种排法，由分步计数原理知，共有 种排法；4A1432（2）当英语课排在第 4 节或第 5 节时，有 种排法，此时数学课有 种排法，而余13下 4 门课全排列，有 种排法，由分步计数原理知，共有 种排法；1423A由分类计数原理知，共有 144+144=288 种不同的排法。点评：对于排列问题中有特殊元素（受限元素）时应优先考虑特殊元素。例 3、用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有

4、（ ）（A）288 个 （B）240 个 （C）144 个 （D ）126 个分析：首先应注意几个关键词：没有重复数字、比 20000 大、五位、偶数；因为有偶数所以末位（个位）数字最为特殊，应优先考虑其次比 20000 大，所以首位也特殊；（1）当 0 在末位时，万位可排 2、3、4、5 之一，有 种排法，而其余各位有 种14A34A排法，由分步计数原理知，共有 种排法；196A（2）当 2 或 4 在末位时，有 种排法，万位有 种排法，而其余各位有 种排法，213 34由分步计数原理知，共有 种排法；13242由分类计数原理知，共有 96+144=240 种不同的排法。所以选 (B)点评：

5、对于排数问题一般情况下，首位和末位（个位）通常是两个比较特殊的位置，需要优先考虑。三、相邻（小团体）问题-“捆绑法”例 4、有 4 名女生，3 名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，一共有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：女生必须相邻、男生必须相邻；第一步先把 4 名女生作为一个整体，看成一个元素；3 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排共有 种排法；第二步女生内部有 种排法，男生内部有2A4A种排法；3A由分步计数原理知，符合题意的排法共有 种。2438点评：一般地， 个不同元素排成一排，其中 个元素相邻，的排法是：先将 个元nkk素“捆绑在一起”暂时看成一个

6、元素与其他 元素一起排列，共有 种排法；然()n1nA后再将捆绑在一起的 个元素进行内部全排列有 种排法，由分步乘法计数原理得：符合kkA条件的排列一共有 种。这种解决问题的策略也可看成是先整体后局部。1nkAg四、不邻（间隔）问题-“插空法”例 5、将 8 名学生站成一排照相，其中甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头，问有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：不相邻、不站排头；第一步先将除甲，乙，丙三名同学外的其他 5 名同学排成一排，共有 种排法；第二5A步由于甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头（注意排尾可以站） ，所以共有 5 个空可以插入甲，乙，丙三名同学，共有 种排法；35

7、A由分步计数原理知，符合题意的排法共有 种。53720A点评：一般地， 个不同元素排成一排，其中 个元素互不相邻，的排法nk()n是：先将 个元素排成一排，共有 种排法，然后将 个元素插入 个空()knk (1)nk隙中，共有 种排法，由分步乘法计数原理得：符合条件的排列一共有 种。1nkA kA五、多排问题-“单排法”例 6、将 6 个不同元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是 。分析：前后两排可以看成一排的两段，因此本题可以看成是 6 个不同元素排成一排的全排列，即共有 =720 种。6A3点评：一般地，把 个不同元素排成几排的问题，可以归结为把 个不同元素排成一n n排

8、考虑，共有 种排法，即多排问题单排处理。A例 7、有 8 人将参加一圆桌会议，8 把椅子，问他们的座位共有多少种不同安排的方法？ 分析：将 8 个人用 A、B、C、D、E、F、G、H 这 8 个点表示，如图 1；于是这个问题可以看成是 8 个人排成一排后，再将他们首尾相接，因此我们可以用“剪刀”从点A、B 、 C、D、 E、F 、G、H ，8 个点中的任意相邻两点的空格处“剪开” ，从而将“环排问题”转化为“直排问题”如图 2；于是这 8 个点的排法有 种，同时这种“剪法”8A一共有 8 种，又因 8 种“剪法”的效果等同，所以他们的座位的不同安排的方法有 种。8A点评：一般地，将 个不同元素

9、排在一个圆桌上，它们的不同位置的排法一共有n种。即， “环排问题”转化为“直排处理” 。nA六、定序问题-“缩倍法”例 8、将 6 个人排成一排，要求甲要排在乙的左边，乙要排在丙点左边（甲，乙，丙可以不相邻） ，共有多少种排法？分析：首先应注意几个关键词：甲要排在乙的左边、乙要排在丙点左边、 （甲，乙，丙可以不相邻） ；6 个人排成一排共有 种排法；定序元素甲，乙，丙的排列数为 ，因此6A3A符合题意的排法共有 种。63120点评：一般地，在 个不同元素的排成中，有 个不同的元素定序时，其排法种数为：nk，即符合条件的排法为，所有元素的全排列除以的定序元素的全排列；nkA七、相同元素分配问题-

10、“隔板法”例 9、将 12 个相同的小球放进 4 个不同的盒子里，每个盒子至少有一个球，问有多少种方法？分析：首先应注意几个关键词：相同的小球、不同的盒子、每个盒子至少有一个球；先将 12 个相同的小球排成一排后，在相邻的两个小球之间有一个空，则一共有 11 个空，然后在这 11 个空中插入 3 块挡板（由于每个盒子至少有一个球，所有两端不能放挡板，于是 3 块挡板就相当于形成四个盒子）如图 3， 所示，所以不同方法共有 种。31C点评：一般地，将 相同元素的分配到 个盒子中的问题，可以先将要分配的 个元nk n素排成一排，再在这些元素之间的 个空格中，插上 个板子（注意两端不能放()(1)k

11、图2BCDEFGHA图1A CEFGBHD图34板子，以保证盒子不空） ，其中这 个板子就相当于构造了 个盒子。从而将 个相同(1)kkn元素放入了 个盒子中的放法数为 种。knC八、交叉问题（多面手问题）-“图示法”例 10、某公司有 9 名翻译，其中 6 人懂英语，4 人懂日语，从中选拔 5 人参加外事活动，要求 3 人担任英语翻译，2 人担任日语翻译，一共有有多少种不同的选拔方法？分析：因为有 9 名翻译，其中 6 人懂英语，4 人懂日语，则必有 1 人既会英语又会日语（以下称为多面手） ，如图 4 所示，仅懂英语的有 5 人，仅懂日语的有 3 人；（1）在选出的 5 人中“多面手”未入

12、选有 种，325C（2）在选出的 5 人中“多面手”入选；入选后，若“多面手”担任英语翻译有；若“多面手”担任日语翻译有 ； 53C 135由分类计数原理知，共有 + + =90 种不同的排法。32523点评：解决交叉问题的关键就是“合理分类，准确分步” ；准确地将交叉元素进行分类处理，九、分组问题-“先分堆，后乘除”（一）平均分组问题， “要看有无分配对象”在平均分组问题中，要看是否有分配对象。若没有分配对象，则不管它们的顺序。例 11、有 6 本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； （2）平均分成三份；。分析：（1）第一步从先 6 本不同的

13、书任取 2 本分给甲的方法，有 种；第二步在从26C余下 4 本书中取 2 本分给乙的方法，有 ；第三步，最后将剩余 2 本分给丙的方法，有4C，由分步计数原理知，符合题意的分法共有 =90 种。2C264分析：（2）平均分成 3 份，共有 种。2642315A点评：第（1）小题是有分配对象的平均分组问题；，而第（2）小题是没有分配对象的平均分组问题；二者的区别在于；有分配对象时还要乘以组数的全排列，从而约去分母。一般地，把 个不同元素平均分成 组（每组 个元素） ；若仅是分组，没有分nm mn配对象，则有 种分法；把 个不同元素平均分成 组后，若(1)(2)nnCCAL m还有分配对象，则有

14、 = 种分法。(1)(2)nnnmmA(1)(2)nnnCL（二）非平均分组问题， “要看是否定向”315图45例 12、有 6 本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙 2 本，丙 3 本；（2）分成 3 份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；（3）分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本。分析：（1）先从 6 本书中任选 1 本给甲，有 种方法；再从余下 5 本中任选 2 本给16C乙有， 种方法；最后将剩余的 3 本给丙，有 种方法；依据分步计数原理知，符合题25C3意的分法共有 =60 种。1625（2）先从 6

15、本书中任选 1 本作为一份，有 种方法；再从余下 5 本中任选 2 本作为16C一份，有 种方法；最后将剩余的 3 本作为一份，有 种方法；依据分步计数原理知，5C3符合题意的分法共有 =60 种。1625（3）由（2）的结论将 6 本不同的书分成 3 份；一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；的方法共有 种，但由于甲、乙、丙三人谁得一本，谁得二本，谁得三本并没有16253确定，即归属不定向，所以还要针甲、乙、丙三人进行 的全排列，依据分步计数原理知，3A符合题意的分法共有 =360 种。16C253A点评：在非平均分组问题中，关键要看是定向分组还是非定向分组；如本题（1）是定向非平均分组问题，且无分配对象；（2）是定向非平均分组问题，且有分配对象；然而它们的结果相同，这说明：在非平均分组问题中，若是定向分组问题，则不管是否给出分配对象，其分组方法种数相同；（3）是不定向非平均分组问题，则要管是否给出分配对象，当给出分配对象时，还要乘以组数的全排列。（三）部分平均分组问题例 13、有 6 本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给 4 人，甲、乙各得 1 本，丙、丁各得 2 本；（2）分成 4 份，两份各 1 本，两份各 2 本。分析：（1）先从 6 本书中任选 1 本给甲，有 种方法；再从余下 5 本中任选 1 本给16C乙有， 种方法；再从余下的 4 本中