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1、.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 12008 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设 ，则 （ ）0ab10limnab. . . .ABCbD1b解： B1100lilinnnaba10limna（2）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）()fx1,x0()()xftdg跳跃间断点. 可去间断点. 无穷. 振荡.ABCD解 ： B所以 是函数 的可去间断点00 0()
2、lim()lilimxx xftdgff 0x()gx（3）设 是连续奇函数， 是连续偶函数，区域f()g则正确的（ ）(,)1,Dxyxy. .A()0fd B()0Dfxgyd. .CDxgy()xy解 ： 中 为奇函数， 为偶函数，所以Afy()x()0Dfygxd（4）曲线方程为 函数在区间 上有连续导数，则定积分 （ ）f0,a0()axfd曲边梯形 面积. 梯形 面积.ABCBAC曲边三角形 面积. 三角形 面积.D解：答案 C解： 000()()() 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 2其中 是矩形面积， 为曲边梯形的面
3、积()af0()afxd所以 为曲边三角形的面积。0xd（5）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）AnEn30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可ABEA逆.可逆， 可逆. 可逆， 不可CD逆. 解： 分析： ，23()EAEA，23()EA故 均可逆。,（6）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）12A. A12B21C21D12解：选 D221431302E则 。记 ，则12,3221143130ED则 ，正、负惯性指数相同，故选12,3D（7）随机变量 独立同分布且 的分布函数为 ，则 的分,XYXFxmax,ZXY布函数为（ ）. .A2FxBy. . C21D1F
4、网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 3解： Amax,FZPzXY2PzYFzz（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,1N:4: 1X. .A2YB2. . CPXDPY解：选 D用排除法设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除（A） （C）YaXb1XY,Y0a由 ，得 ，(0,)(,4)xN01E()EXbaE排除（C）1 故选择（D）二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 在 内连续，则 . 21,()xcf(,)c解：1由 2limli1xcxcffc（10）已知
5、函数 连续且 ，则曲线 上对应 处切线方()0()limxf()yfx0程为 .解： 2yx由 且 连续，则 ， ，所以切0()limxf()f0f0lim2xfff 线方程为： .2y（11） .2103lnydx解：）.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 42121210100lnly yydxxddx2211xd（12）微分方程 通解是 .2()xe解： xyC， ，e1PxQe.1dxdxyxxdCe（13）设 3 阶矩阵 的特征值互不相同，若行列式 ，则 的秩为 .A0A解：2分析：设 的特征值为 ， ，则存在可逆矩阵
6、 ，使得123,123P，故 ，由 ，1123PAB 123AP0A112212333又 互不相同，则 中有且只有一个为零，故123, 12, ()2rAB（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .X2PXE解： 12e因为 ，所以 ，X 服从参数为 1 的泊松分布，22()DE2E所以 1PXe三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分 10 分）求极限 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 5解： 22001sin1sinliml1
7、xxx32000coilililm6xxx(16) （本题满分 10 分）设 ， ，求 的极值、单调区间和凹凸区间.10ftdt1f解： 1 1220()()()()x xx xttdtdt2332330tt xgg.33162xx12,令 ，得 .()f()0f 21()63f2x，得 ()0fx2x或，得 ()f因此， 的单调增区间是 ；单调减区间是 .()fx2(,),()2(,)由 ，可知 为凸区间， 为凹区间.2f,0)0,由 知 为极大值.(),(,ff21()63f由 知 为极小值.2()0,(),ff()f(17)（本题满分 10 分）求函数 在在约束条件 和 下的最大和最小值
8、.22uxyz2zxy4z解：设 12(,)()()F.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 6得方程组 即2(,)0,40xyzFx122040xyzx解得 或28yz12yz得 ，max()87U22min16U(18)（本题满分 10 分）设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶导,zxy2xyzxyz数且 时，1求(1) dz（2）记 ，求 .,zuxyxyux解：(1) ,dzzdz122xdy1dz1Q(2),()12) 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910
9、 72233(1)(1) (12)(12)xzu xxxx (19)（本题满分 10 分）是周期为 2 的连续函数，f（1）证明对任意实数都有 220tfxdfx（2）证明 是周期为 2 的周期函数0xtgst解：（1）对于 ，令 ，则2tf2xu0t tfxdfud因为 的周期为 2，所以fx20t tfd所以 20 220 0t ttdfxxfxfx （2） 220xtgffsdt20xt xtfsdtfsdt 22xtffstxtxgtd因为 220tfdf所以 20xt xstfst2200xtfdfd220xffx所以 20gtdfsdgx所以 是周期为 2 的周期函数x（20） （
10、本题满分 11 分）.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 8设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中221naAaOAXB， ，1,TnXxL1,0BL（1）求证 nA（2） 为何值，方程组有唯一解a（3） 为何值，方程组有无穷多解解： 2 22 2113011aaAaaOO2130434(1)2()1()0naananOK方程组有唯一解由 ，知 ，又 ，故 。AxB(1)nAa0记 ，由克莱姆法则知， 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 922 22(1) (1)12 22
11、21110 111 1()()n nnaa aAAaxa aa aa OOOO方程组有无穷多解由 ，有 ，则 ,故0Aa0110|ABOM| 1rABrn的同解方程组为 ，则基础解系为 ， 为任意常数。0Ax230nxK1,0,TkKk又 ，故可取特解为 ,10100OM10M所以 的通解为 为任意常数。AxB1,0kk(21)（本题满分 11 分）.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 10设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足A12,A1,3，32证明（1） 线性无关；123,（2）令 ，求 .P1P
12、A解：（1）假设 线性相关，则 可由 线性表出，不妨设123, 312,，其中 不全为零（若 同时为 0，则 为 0，由 可知32ll12,l3323A）20Q1,A23312l又 12()ll，整理得：12ll120l则 线性相关，矛盾（因为 分别属于不同特征值得特征向量，故 线12, 12, 12,性无关）.故： 线性无关.123,（2）记 则 可逆，123(,),PP123123(,)(,)AA123(,)1230(,)即： .01AP101PA（22） （本题满分 9 分）设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ， 概率密XYX1,03XiY度为 ，记10Yyfy其 它 ZY.com 网聚精英，服务精英，成就精英！打造中国教育培训的沃尔玛！ 咨询热线：010-51660910 11（1）求 102PZX（2）求 的概率密度解：1. 01()1()33zFzdyz 120)0()22PXPYXPYdy2. 当 时，z(1z当 时，1)0F当 时，2z()()zPZzXYz1(0)()(1)()YPXYzPXYzXP 1()()1)3zzz当 时，10z10)3Fdy当 时， ()zzz当 时，2z10) 1zy所以 ()23
