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1、四边形中的相似问题专题题型一：平行四边形中的相似问题例 14 （2006 威海）已知：如图 ，在ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点过 O 的直线MN 交直线 AB 于点 M，交直线 CD 于点 N；过 O 的另一条直线 PQ 交直线 AD 于点 P，交直线 BC 于点 Q，连接 PN、MQ（1）试证明PON 与QOM 全等；（2）若点 O 为直线 BD 上任意一点，其他条件不变，则PON 与QOM 又有怎样的关系？试就点 O 在图所示的位置，画出图形，证明你的猜想；（3）若点 O 为直线 BD 上任意一点（不与点 B、D 重合） ，设OD：OB=k，PN=x，MQ=y ，则 y 与 x
2、之间的函数关系式为y= 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质305660 专题： 综合题分析： （1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明DOP BOQ， PONQOM，然后利用全等三角形的性质得到 PO=QO，MO=NO，然后再证明PONQOM 就可以解决问题；（2）点 O 为直线 BD 上任意一点，则 MOQNOP根据 APBQ，BMCN 可以得到比例线段，而NOP= MOQ，可以证明 MOQNOP 了；（3）根据（2）和已知可以得到 ，根据这个等式可以求出 y 与 x 之间的函数关系式解答： （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，PDO
3、=QBODOP=BOQ，DO=BO，DOPBOQPO=QO （2 分）同理 MO=NOPON=QOM，PONQOM （4 分）（2）解：画图 （5 分）MOQNOP （6 分）APBQ，BMCN，OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OMOP：OQ=ON：OM （7 分）NOP=MOQMOQNOP （8 分）（3）解：根据（2）和已知可以得到 ，y= （10 分）点评： 此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题15 （2010成都）已知：在菱形 ABCD 中，O 是对角线 BD 上的一动点（1）如图甲，P 为线段 BC 上一点，连接 PO 并
4、延长交 AD 于点 Q，当 O 是 BD 的中点时，求证：OP=OQ ；（2）如图乙，连接 AO 并延长，与 DC 交于点 R，与 BC 的延长线交于点 S若AD=4， DCB=60，BS=10，求 AS 和 OR 的长考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质305660 专题： 综合题分析： （1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证ODQ OBP（2）首先求 AS 的长，要通过构建直角三角形求解；过 A 作 BC 的垂线，设垂足为T，在 RtABT 中，易证得ABT= DCB=60，又已知了斜边 AB 的长，通过解直角三角形可求出 AT、BT
5、 的长；进而可在 RtATS 中，由勾股定理求出斜边 AS 的值；由于四边形 ABCD 是菱形，则 ADBC，易证得 ADOSBO，已知了 AD、BS 的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出 OA、OS 的比例关系式，即可求出OA、OS 的长；同理，可通过相似三角形ADR 和SCR 求得 AR、RS 的值；由OR=OSRS 即可求出 OR 的长解答： （1）证明：ABCD 为菱形， ADBCOBP=ODQO 是 BD 的中点，OB=OD在BOP 和 DOQ 中，OBP=ODQ，OB=OD ，BOP=DOQBOPDOQ（ASA）OP=OQ（2）解：如图，过 A 作 ATBC，与 CB 的延
6、长线交于 TABCD 是菱形， DCB=60AB=AD=4，ABT=60 AT=ABsin60=TB=ABcos60=2BS=10，TS=TB+BS=12，AS= ADBS，AODSOB ，则 ，AS= ， OS= AS= 同理可得ARD SRC ，则 ， ， OR=OSRS= （12 分）点评： 此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出 AS 的长是解答此题的关键17 （2010宁波）如图 1 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，ABCD 的顶点 A 的坐标为（2， 0） ，点 D 的坐标为（0，2 ） ，点 B 在 x 轴的正半轴上
7、，点 E 为线段 AD 的中点，过点 E 的直线 l 与 x 轴交于点 F，与射线 DC 交于点 G（1）求DCB 的度数；（2）连接 OE，以 OE 所在直线为对称轴， OEF 经轴对称变换后得到 OEF，记直线 EF与射线 DC 的交点为 H如图 2，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：DEGDHE；若EHG 的面积为 3 ，请直接写出点 F 的坐标考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质305660 专题： 综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析： （1）由于平行四边形的对角相等，只需求得DAO 的度数即可，在 RtOAD 中，根据 A、D 的坐标
8、，可得到 OA、OD 的长，那么DAO 的度数就不难求得了（2）根据 A、D 的坐标，易求得 E 点坐标，即可得到 AE、OE 的长，由此可判定AOE 是等边三角形，那么OEA= AOE=EOF=60，由此可推出 OFAE，即DEH=OFE，根据轴对称的性质知OF E=EFA，通过等量代换可得EFA=DGE=DEH，由此可证得所求的三角形相似过 E 作 CD 的垂线，设垂足为 M，则 EM 为 EGH 中 GH 边上的高，根据EGH的面积即可求得 GH 的长，在题已经证得DEGDHE，可得 DE2=DGDH，可设出 DG 的长，然后表示出 DH 的值，代入上面的等量关系式中，即可求得 DG 的
9、长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到 AF 的长，进而可求得 F 点的坐标，需注意的是，在表示 DH 的长时，要分两种情况考虑：一、点 H 在 G 的右侧，二、点 H 在 G 的左侧解答： 解：（1）在直角OAD 中， tanOAD=OD：OA= ，A=60，四边形 ABCD 是平行四边形，C=A=60；（2）证明：A（ 2，0） ，D（0，2 ） ，且 E 是 AD 的中点，E（ 1， ） ，AE=DE=2，OE=OA=2，OAE 是等边三角形，则AOE=AEO=60 ；根据轴对称的性质知：AOE=EOF，故EOF =AEO=60，即 OFAE，OFE=DEH；OFE=OFE=DGE
10、，DGE=DEH，又GDE=EDH，DGEDEH过点 E 作 EM直线 CD 于点 M，CDAB，EDM=DAB=60，EM=DEsin60=2 = ，SEGH= GHME= GH =3 ，GH=6；DHEDEG， = 即 DE2=DGDH，当点 H 在点 G 的右侧时，设 DG=x，DH=x+6 ，4=x（x+6 ） ，解得：x 1=3+ ，x 2=3 （舍） ，点 F 的坐标为（1 ，0） ；当点 H 在点 G 的左侧时，设 DG=x，DH=x 6，4=x（x 6） ，解得：x 1=3+ ，x 2=3 （舍） ，DEGAEF，AF=DG=3+ ，OF=AO+AF=3+ +2= +5，点 F
11、 的坐标为（ 5，0） ，综上可知，点 F 的坐标有两个，分别是 F1（1 ，0） ， F2（ 5，0） 点评： 此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大题型二：梯形中的相似问题21 （2000朝阳区）已知：在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 AB 上，点 F 在 DC 上，且AD=a，BC=b （1）如果点 E、F 分别为 AB、DC 的中点，如图求证：EFBC ，且 EF= ；（2）如果 ，如图，判断 EF 和 BC 是否平等，并用 a、b、m、n 的代数式表示EF请证明你的结论考点： 梯形中位线定理；全
12、等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例305660 分析： （1）连接 AF 并延长，交 BC 的延长线于 M，利用 ASA 可证 ADFMCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是 EF 就转化为ABM 的中位线，那么 EF= BM，而CM=AD，所以 EF= BM= （BC+CM ）= （BC+AD） ；（2）证法和（1）相同，只是换成求线段的长先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得 AF：FM=AD：CM=DF ：FC=m：n，从而在ABM 中，AE：BE=AF ： FM，再利用比例线段的性质，就有 AE：AB=AF：AM，再加上一个公共角，可证AEF ABM，则 AEF=ABM，那么
13、 EFBM，从而有EF：BM=AE：AB=m ：（m+n） ，而 AD：CM=m ：n，可求 CM，那么 BM 可求，把BM 代入上式即可求 EF解答： （1）证明：连接 AF 并延长，交 BC 的延长线于点 M， （1 分）ADBM，D=1，点 F 为 DC 的中点，DF=FC，又2=3，ADFMCF，AF=FM，AD=CM， （3 分）点 E 为 AB 的中点，EF 是ABM 的中位线，EFBC，EF= BM，BM=BC+CM=BC+AD，EF= （AD+BC） ，即 EF= （a+b） ；（5 分）（2）答：EFBC，EF= ，证明：连接 AF 并延长，交 BC 的延长线于点 M，ADB
14、M，又 ，在ABM 中，有 =EFBC， （9 分） = = ，EF= BM= ， （10 分）而 ，CM= ， （11 分）EF= （b+ ） ，EF= 点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例线段的性质等知识10 （2007岳阳）已知：等腰 RtABC 中，A=90 ，（1）如图 1，E 为 AB 上任意一点，以 CE 为斜边作等腰 RtCDE，连接 AD，则有ADBC；（2）若将等腰 RtABC 改为正 ABC，如图 2 所示，E 为 AB 边上任一点，CDE 为正三角形，连接 AD，上述结论还成立吗？答成立；（3）若ABC 为任意等腰三
15、角形，AB=AC ，如图 3，E 为 AB 上任一点，DECABC，连接 AD，请问 AD 与 BC 的位置关系怎样？答： AD BC请你在上述 3 个结论中，任选一个结论进行证明考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形305660 专题： 几何综合题分析： 欲证 ADBC，可以根据等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性质，证明ACDBCE，再证明 AD 与 BC 的内错角相等，得出结论解答： 解：（1）ABC 和DEC 是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB= DCE=45 = ，DCA= ECBACDBCEDAC=EBC=45DAC=ACBADBC（2）ABC 和DEC 是正三角形，A
