《概率与数理统计习题答案第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与数理统计习题答案第二章（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1) (2) 2.035.1 1.07.32(3) (4)Ln31L221n解 （1）是（2） ，所以它不是随机变量的分布列。.07.（3） ,所以它不是随机变量的分布列。431231n（4） 为自然数，且 ，所以它是随机变量的分布列。,2n 1n2.2 设随机变量 的分布列为： ，求(1) 5,4321,5)(kP;)1(或P(2 ) ； (3) 。25)21(P解 (1) ;5)(或(2) ;1)(1(3) .)2(P2)1P2.3 解 设随机变量 的分布列为 。求 的值。3,21)(iCiC解 ，所以 。132C382
2、72.4 随机变量 只取正整数 ，且 与 成反比，求 的分布列。N)(P2N解 根据题意知 ，其中常数 待定。由于 ，所2)(CP 16212C以 ，即 的分布列为 ， 取正整数。26C262.5 一个口袋中装有 个白球、 个黑球，不返回地连续从袋中取球，mn直到取出黑球时停止。设此时取出了 个白球，求 的分布列。解 设“ ”表示前 次取出白球，第 次取出黑球，则 的分布列为：kk1k.,0,)(1)()( mnmPLL2.6 设某批电子管的合格品率为 ，不合格品率为 ，现在对该批电子管4341进行测试，设第 次为首次测到合格品，求 的分布列。解 .,21,43)(1LkkPk2.7 一个口袋
3、中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 只球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列。解 .5,43,521)(kkP2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 ，设 为一直p)10(掷到正、反面都出现时所需要的次数，求 的分布列。解 ，其中 。L,32,)(11kqpkPk q2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设 ， 表示第二名队员的投篮次数，则+ ；4.06.)(1kkP6.01k L,21,4.7k。02.10 设随机变量 服从泊松分布，
4、且 ，求 。)(P)()4(P解 。由于 得L,210)(!)(kekP ,2e,21（不合要求） 。所以 。02 2243!)(eP2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。解 设 为该种商品当月销售数， 为该种商品每月进货数，则x。查泊松分布的数值表，得 。9.0)(xP 162.12 如果在时间 （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟t内有多于一辆汽车通过的概率。解 设 为时间 内通过交叉路口的汽车数，
5、则tL,210),(!)( kekPt时， ，所以 ； 时， ，因而1t .)05lnt5ln2t。)()1(P83.02/)4(2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个） 。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率 ，因而，至少出现三个501p错误的概率为kkk 50503491 kk204951利用泊松定理求近似值，取 ，于是上式右端等于10np0831.251!120ek214 某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 1
6、00 个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装 个产品，其中有 个次品，则要求 ,使 x10kx，kxkx10097.39.利用泊松分布定理求近似值，取 ，于是上式相当于.)1(，查泊松分布数值表，得 。30!9.ekx 5x2.15 设二维随机变量 的联合分布列为：),( )10,()(!1),( pemnpnP！ LL,210,0nm求边际分布列。解 mP0),()( mnnmp)()!(!0L,21!ne0),()(nP mnmnpep)1()!(!。L,21!mep2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取 4 件，设一、二、三等
7、品的件数分别为 、 、 ，求 的联合分布列),(与各自的边际分布列。解 ，knmknmP2.035.!4),( .44,3210, knm， ；.054) ,1， ；nn47.3( 4,32， 。kkP48.02)(,12.18 抛掷三次均匀的硬币，以 表示出现正面的次数，以 表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 的联合分布列及边际分布列。),(解 kkCkP3321)3,( .,2102.21 设随机变量 与 独立，且 ，)1(P0)(p又 ，定义 ，问 取什么值)0(P01)(p为 奇 数若 为 偶 数若 0时 与 独立？解 =)1()0()1( PPP 2p1)(0 )(而 ，
8、由 得,(2,p),(122.22 设随机变量 与 独立，且 ，定义 ，1P)(证明 两两独立，但不相互独立。,证明 21)()()(1)( P11PP因为 4),(),( )(1P1),(),1( P )1(P4 所以 相互独立。同理 与 相互独立。, 但是 ，因而 不相互独立。)1()1(),1( PPP ,2.23 设随机变量 与 独立， ，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明 不服从均匀分（即不可能有 。 ）,)(Lk证明 设 。,)(kpPqk若 ，则12,31)2( )1(1765261qpqpPL 2)( )3(将（2）式减去（1）式，得： ，于是 。同理 。0)(1616p1
9、6q因此 ，与（3）式矛盾。16qp2.24 已知随机变量 的分布列为 ，求 与 的分412023cos布列。解 分布列为 ， ， ；41)2(P)3(41)32(P的分布列为 ， ， 。210P)2.25 已知离散型随机变量 的分布列为 ，求 的301562分布列。解 , , , 51)0(P307)(P1)4(P)9(P2.26 设 s 离散型随机变量 的分布列为 ： ， 与 81320： ，且 相互独立，求 的分布列。3210与 解 124632.27 设独立随机变量 分别服从二项分布： 与 ，求与 ),;(1pnkb),;(2pk的分布列。解 设 为 重贝努里试验中事件 发生的次数（在
10、每次试验中 ） ，1nAAP)(为 重贝努里试验中事件 发生的次数（在每次试验中 ） ，而2 p)(相互独立，所以 为 重贝努里试验中事件 发生的次数，因而与 21n。,10,)( 2121 LkqpknPk 2n2.28 设 为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为与,21,)()( nPn求 的分布列。解 nknnknkPP 211)()(1 2.29 设随机变量 具有分布： ，求 、 及5,43,5E2。2)(E解， ，3)541(5 1)21(22 E+4 +4=272)E2.30 设随机变量 具有分布： ，求 及 。L,2)(kPED解 ，211kkk 6211kkkE)(2ED2.
11、31 设离散型随机变量 的分布列为： ，问L,21,)1(kPk是否有数学期望？解 ，因为级数 发散，所以 没有数学期望。112|)(| kkk 1k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中） ，物品的重量以相同的概率为 1 克、2 克、10 克，现有三组砝码：（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解 设 、 、 分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，123则有物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 2 1 2 2 3 3 11 1 1
12、1 2 2 2 3 3 121 1 2 3 1 2 2 3 4 13于是 8.)(01 E 7.1)321(02 E24323所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33 某个边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是 0.49, 米的概率各是 0.16， 米的概率各是 0.08，100米的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。3解 设场地面积为 ，边长的误差为 米，则 且2米S2)5(S0E186)05.38.016.0(22E所以 )()5 22 米ES2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为 、1p、 。试证发生故障
13、的仪器数的数学 + + 。2p3 1p23证 令 ,01iii架 仪 器 未 发 生 故 障第 架 仪 器 发 生 故 障第为发生故障的仪器数，则 ，3,21,)(ipPEii所以 + + 。321E1p232.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取 150 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则 的分布列为 ，因而 。设 为查得的不合格品数，i154015iE则，所以 。150i001iiE2.38 从数字 0，1，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设 为所选两个数字之差的绝对值，则 ， nknkP,21,)(L于是 。32)1()(2121 nknnkEkk2.39 把数字 任意在排成一列，如果数字 恰好出现在第 个位置上，,2Lkk则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设 则 的分布列为：个 位 置 上不 在 第数 字 个 位 置 上出 现 在 第数 字 kk01 kn10于是 ，设匹配数为 ，则 ，因而 。nPEkk)( nk11kE2.40 设 为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ;1)(n(2) ).1()(21EPDn证明 (1)由于 存在，所以该级数绝对收敛。从而0)(nE。1)(nP
