平面图形的镶嵌

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1、平面图形的镶嵌一选择题（共 5 小题）1 （2010赤峰）下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A任意一种三角形 B 任意一种四边形C 任意一种正五边形 D任意一种正六边形2下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A正三角形 B 正方形 C 正五边形 D正六边形3 （2004包头）用边长均为 a 的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为 a 的正十二边形的平面图形，现有 6 个正方形，1 个正六边形，那么还需要正三角形（）A8 个 B 6 个 C 4 个 D2 个4从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个

2、平面图形的共有（）A3 种 B 4 种 C 5 种 D6 种5下列边长相等的正多边形的组合中，不能镶嵌平面的是（）A正三角形和正方形 B 正三角形和正六边形C 正方形和正八边形 D正五边形和正方形二填空题（共 6 小题）6 （2003徐州）有以下边长相等的三种图形： 正三角形， 正方形，正八边形选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）：_，或 _ 7 （2011株洲）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有_（写出所有正确答案的序号） 8 （2005陕西）如图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的

3、上底长与下底长的比是_ 9如图是由 4 个完全相同的等腰梯形镶嵌成的图形则等腰梯形较大的内角的度数是_度10用黑白两种颜色的正六边形的地面砖（如图）镶嵌成若干图案第 4 个图案中，白色的地砖有_块；第 n 个图形中，白色的地砖有_块11用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于 360现在有七种不同的正多边形： 正三角形、正方形、正六边形、 正八边形、正十边形、正十二边形、正十五边形请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：_ （请用序号表示，只需写出两种即可）三解答题（共 9 小题）12 （2010青岛）问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面

4、料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌” 中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_个正六边形的内角问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数

5、学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：90x+ ，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平

6、面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证 2：_；结论 2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想 3：_；验证 3：_；结论 3：_13 （2003陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面

7、镶嵌） 这显然与正多边形的内角大小有关当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数 3 4 5 6 正多边形每个内角的度数 （2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图） ；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由14 （2011凉山州） 6 张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这 6 张卡片洗匀后，正面

8、向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等（1）从这 6 张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这 6 张卡片中随机抽取 2 张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？15有下列正多边形：正三角形； 正方形； 正六边形； 正十二边形，从中任选二种或二种以上的图形结合在一起作平面镶嵌（每种图形可重复使用） 请你设计 4 种符合上述条件的平面镶嵌方案，并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号（不需要作出平面镶嵌图形） 16 （2005济南）我们常用各种多

9、边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌） 我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为 360时，就能够拼成一个平面图形某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用 x 个正三角形、y 个正六边形进行平面密铺，可得 60x+120y=360，化简得 x+2y=6因为 x、y 都是正整数，所以只有当 x=2，y=2 或 x=4，y=1 时上式才成立，即 2 个正三角形和 2 个正六边形或 4 个正三角形和 1 个正六边形可以

10、拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1） 、 （2） 、 （3） （1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的 x 个正三角形和 y 个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可） ；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图17 （2012济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片 A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等） ，把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回） ，接着再随机抽取一张（1）请你用画树形图或列

11、表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q 表示这两种正多边形的个数，x、y 表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程 px+qy=360，求每种平面镶嵌中 p、q 的值18 （1）如图 1，是某市公园周围街巷的示意图，A 点表示 1 街与 2 巷的十字路口，B 点表示 3 街与 5 巷的十字路口，如果用（1，2）（2，2） （3，2）（3，3）（3，4）（3，5）表示由 A 点到 B 点的一条路径，那么，你能同样的方法写出由 A 点到 B 点尽可能近的其他两条路径吗？（

12、2）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌，请全部写出这两种正多边形并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由（3）如图 2 所示，已知 ABCD，分别探索下列四个图形中P（均为小于平角的角）与 A，C 的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明（4）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形如图 3 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2 个、3 个、4 个小三角形请你按照上述方法将图 4 中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数以及求出每个

13、图形中的六边形的内角和试把这一结论推广至 n 边形，并推导出 n 边形内角和的计算公式19 （2011宜昌）如图，某商标是由边长均为 2 的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点 O，那么点 O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）20用同样图案的正方形地砖（图 1） ，可以铺成如图 2 的正方形和正八边形镶嵌效果的地面图案（地砖与地砖拼接线忽略不计） 已知正方形地砖的边长为 a，效果图中的正八边形的边长为 20cm（1）求 a 的值；（2）我们还可以在正方形地砖上画出与图

14、 1 不同的图案，使它能拼出符合条件的图 2 镶嵌效果图，请你按这个要求，在图 3 中画出 2 种与图 1 不同的地砖图案，并且所画的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1 （2010赤峰）下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A任意一种三角形 B 任意一种四边形C 任意一种正五边形 D任意一种正六边形考点： 平面镶嵌（密铺） 。1453018分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角解答： 解： 用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，A、 B 能镶嵌平面的图形；C、任意

15、一个正五边形的内角为 108，不能镶嵌平面的图形；用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，D 能镶嵌平面的图形故选 C点评： 用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案因为三角形内角和为 180，用 6 个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为 360，用 4 个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案2下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A正三角形 B 正方形 C 正五边形 D正六边形考点： 平面镶嵌（密铺） 。1453018专题： 常规题型。分析： 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌解答： 解：A、正三角形的一个内角度数为 1803603=60，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正方形的一个内角度数为 1803604=90，是