弹性力学_第三章_应变状态分析

《弹性力学_第三章_应变状态分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学_第三章_应变状态分析（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第三章 应变状态分析知识点位移与变形 正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变 变形协调方程 变形协调方程证明 变形与应变分量 切应变 几何方程与应变张量 位移增量的分解 应变张量应变状态特征方程 变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须 确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此， 应变状态分析主要是讨论不同坐

2、标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于 应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是 应变分量必须满足变形协调方程。在弹 性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应

3、变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。23.1 位移分量与应变分量 几何方程学习思路:由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义，不难得到应变与位移的关系几何方程，或者称为柯西方程。几何方程给出的应变通常称为工程应变

4、。几何方程可以表示为张量形式，应该注意的是，正应变与对应应变张量分量相等；而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。学习要点：1、位移函数；2、变形与应变分量；3、正应变表达式； 4、切应变分量；5、几何方程与应变张量。1、位移函数由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同 时发生两种位移变化。第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变， 这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化， 位移发生时不仅改变物体的绝

5、对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对 于弹性力学，主要是研究变形，因 为变形和弹性体的 应力有着直接的关系。根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由 M（x，y，z）移动至 M（x，y，z），这一过程也将是连续的,如图所示。在数学上 ，x，y，z 必为 x，y，z 的单值连续 函数。 设 MM=S 为位移矢量，其三个分量 u，v，w 为位移分量。则3u=x（x ， y， z）-x=u（x ， y， z），v=y（x ， y， z）-y=v（x ， y， z）w

6、=z（x ， y， z）-z=w（x ， y， z）显然，位移分量 u，v，w 也是 x，y，z 的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。2、变形与应变分量为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐 标轴垂直。 对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。4对于微分平行六面体单元，设其变形前与 x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为 MA，MB，MC。假设分别用 xyz 表示 x，y，z 轴方向

7、棱边的相对伸长度，即正应变；分别用 xyyzzx 表示 x 和 y，y 和 z，z 和 x 轴之间的夹角变化，即切应变。则对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到 Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的， 变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。3、正应变表达式首先讨论 Oxy 面上投影的变形。设 ma，mb 分 别为 MA，MB 的投影， ma，mb

8、分别为 MA，MB，即变形后的 MA，MB 的投影。微分单元体的棱边长为 dx，dy，dz，M 点的坐标为（x，y ，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表示 M 点 x，y 方向的位移分量。5则 A 点的位移为 u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B 点的位移为 u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒 级数将 A，B 两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则 A，B 点的位移分别为因为所以同理可得由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。显然微分线段伸长，则正应变 x, y, z 大于零，反之则小于零。4、切应变分量以下讨论切应变表

9、达关系。假设 yx为与 x 轴平行的微分线段 ma 向 y 轴转过的角度 ， xy为与 y 轴平行的 mb 向 x 轴转过 的角度。则切应变 因为上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得yx 和 xy 可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx 大于零，表示位移 v 随坐标 x 而增加， 即 x 方向的微分 线段正向向 y 轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，则 6同理可得切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。5、几何方程与应变张量综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为上述公式称为几何方程，又称柯西方程。柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。

10、如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则 其求解将相对复杂 。这个问题以后作专门讨论。几何方程给出的应变通常称为工程应变。如果使用张量符号，则几何方程可以表达为上式表明应变分量 ij 将满足二阶张量的坐标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为3.2 纯变形位移与刚性转动位移学习思路:应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单 元体的刚体转动。7通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯

11、变形位移之间的关系。刚体 转动通过转动分量描述。刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分组成，平动位移和转动位移。如果发生变形，位移中 还包括纯变形位移。学习要点：1、刚体转动位移；2、转动位移分量；3、纯变形位移与 转动位移；4、位移的分解。1、刚体转动位移应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移

12、之间的关系。设 P 点无限邻近 O 点，P 点及其附近区域绕 O 作刚性转动，转过微小角度。设转动矢量为 ，OP 之间 的距离矢量为 ，如图所示。则引入拉普拉斯算符矢量82、转动位移分量设 P 点的位移矢量为 U，有 U =ui +uj +uk由于位移矢量可以表示为 U =,所以即其中x, y, z为转动 分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。3、纯变形位移与转动位移设 M 点的坐 标为（x ，y，z），位移（u，v，w）。与 M 点邻近的 N 点，坐标为（x+dx，y+dy，z+dz），位移 为（u+du，v+dv ，w+dw）。则 MN 两点的相对位移为（du，dv， d

13、w）。因为位移为坐标的函数，所以同理可得9以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分 别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。4、位移的分解总得来讲，与 M 点无限邻近的 N 点的位移由三部分组成的：1、随同 M 点作平动位移。2、绕 M 点作刚性转动在 N 点产生的位移。3、由于 M 点及其邻近区域的变形在 N 点引起的位移。转动

14、分量 x, y， z 对于微分单元体，描述的是 刚 性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不 仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是 转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。3.3 应变的坐标变换与应变张量10学习思路:与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同的，因此讨论应变状态，就必须 建立坐标变换，就是坐 标转动时的应变分量变换关系。本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式，根据几何方程，通过复

15、合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量。根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状 态完全确定。应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。学习要点：1、坐标变换；2、应变分量坐标转轴公式；3、应变张 量。1、坐标变换上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。与坐标转轴时的应力分量的变换一样，我 们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知 ij 在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量 ij 。根据几何方程，坐标平动将不会影

16、响应变分量。因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐标系 Oxyz 是旧坐标系 Oxyz 经过转动得到的，如图所示。新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为11设变形前的 M 点， 变形后移至 M点， 设其位移矢量 MM =U，则2、应变分量坐标转轴公式所以，新坐标系的位移分量为根据几何方程，根据复合函数的微分关系同理，可以推导其余五个应变分量的变换公式，即3、应变张量如果以 nij（i，j=1，2，3）表示新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述应变 分量变换公式可以写作ij=nii njj ij因此，如果将应变分量写作下列形式12则应变分量满足张量变换关系。与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一点的应变