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1、中数网http:/第 1 页 共 10 页论几何学之基础假说(Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.) 黎曼 (Riemann) 张海潮、李文肇 研究大纲 I. n 元量的概念 II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度） III. 物理空间中的应用 译者注 研究大纲大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；
2、我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。 从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于多元延伸量（multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般量（quantity）的概念中建立多元延伸量的概念。我将指出，多元延伸量是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由量的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间
3、从其它易知的三元量属性区分出来。因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看，最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。中数网http:/第 2 页 共 10 页I. n 元量的概念在尝试解决第一个问题 n 元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为
4、在这种哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。过去所学，除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲学研究外，也少能派上用场。 1.要了解量必须先有一个关于量的普遍观念和一些能体现它的特殊事例 (instance)。这些事例形成了所谓的流形：任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此，是连续流形，否则为离散流形。个别事例在前者中称为点(point)，在后者称为元素(element)。构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到只要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了（在离
5、散量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的东西都是同类的）。反过来说，连续流形的例子在日常生活中很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。 利用标记或圈围取出流形的某些部分，称为量。对量的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量叠合；因此必须选出一个量，充当其它量的测量标准。否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈较多(more)、较少(less)，而不知绝对的大小(how much)。以这种的方式进行，形成了对量研究的一个部门。其中量的观念独立于测距 (m
6、easurement)，而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔 (Abel) 的著名定理及拉格郎吉 (Lagrange)、发府 (Phaff) 和亚各比 (Jacobi) 等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥的主要原因。从延伸量的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清n 元延伸量的基本性质。第一点是关于多元延伸量这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题。 2.中数网http:/第 3 页 共 10 页在一个概念下
7、的事例如果构成连续流形，则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形，以致于旧流形上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子便构成了一个二元延伸流形。以此类推，我们可以想象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形，不难看出如何继续这个建构。如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的，而非固定的概念，则这种建构可以看成是融合 n 维和一维的变动度 (variab
8、ility) 而得到 n+1 维的变动度。 3.反之，我现在要说明怎样将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。考虑流形上沿一个一维向度的分解，固定其中之一，使其分解上的点得以相互比较。沿这个向度上的每一点都给定一个值，值随着点的不同而连续变化。换句话说，我们可以在这个给定的流形上定出一个连续的位置函数，使在流形上的任一区，函数的值绝非常数。则当此函数的值固定时，共享此值的所有原流形上的点，便形成了一个较低维的连续流形。函数值改变时，这些流形便分解而连续地从一个变为另一个；我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换，而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到
9、第二个子流形上的每一点。也有些例外的情形，它们相当重要，在此略过。这样，流形上点的位置，便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。我们不难发现，原流形若是 n 维，则分解后所得到的子流形必有 n - 1 维，这个过程重复 n 次以后，一个 n 元流形上的位置关系便可化为 n 个数字；任一个流形若可依此法予以化简，则化简的结果必然是有限个数字。不过也有些较特殊的流形，其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。这流形的例子有：某一区域上的所有函数、一个实体的所有形状等等。II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）在建立了 n 元流形的观
10、念，并将其中位置决定问题转化成为数值决定问题的基本性质确立之后，我们接着要讨论第二个问题，亦即研究能适用于流形的度量中数网http:/第 4 页 共 10 页关系，及决定这些关系的条件。这些度量关系只能以抽象方式表示，而它们之间的关连只能藉公式表达。然而在某些假设之下，我们可以把它们化成能独立地以几何方式表现的关系，也因而可以将数量运算的结果以几何表示。因此，虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名论文中。 1.测量，需要先让量独立于位置而存在；有很多方法可以办到这一点。这正是我在此所要提出的假说，亦即线的长度与其形状无关，每条线
11、都能以另一条线测距。位置化简为数量，则 n 元流形中的点的位置可用 x 1, x2, x3 直到 x n 等 n 个变量表示；如此，则只要 X（X= x1, x2 xn）能表为参数 t 的函数，便能定出直线。所以我们的主题是，为线的长度定出一个数学式；为此，所有的 X 要有共同的单位。我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。首先我要规定我所讨论的线，其 dx i（x i 的微变化量）间的比值呈连续变化。如此，我们可以把线分割成许多小段的线元素（line element），使得线元素上 dx（即 dx 1, dx2, dx3, ,dxn 间）的比为定值，我们的问题则是，如何为每一点找出一个 ds
12、 的一般式，其中 ds 必须以 x 和 dx 表示。再则，我要假设，当线元素上每一点都产生相同的微量移动时，线元素的长度 ds 一阶不变；也就是说，如果所有的 dx 都以同一比例放大，则线元素亦以该比例放大。在这些假设之下，线元素可以是 dx i 的一个一次齐次函数，其中 dxi 全变号时 线元素不变，且一次齐次式的系数都是 x 的函数。举一个最简单的例子：先找一个式子来代表与这个线元素的起点等距的所有点所形成的 n-1 维流形；亦即找到一个位置的连续函数，使得上述各等距 n-1 维流形代入之值都不同。则向各个方向远离起点时，函数的值必须越来越大，或越来越小。我要假设在其往各方向远离起点时，函
13、数值越来越大，而在起点产生最小值。因此函数的一次与二次微分系数如为有限，则一次项系数须为零，而二次项系数为非负；在此假设二次项系数恒正。当 ds 固定时，这个二次微分式亦固定；当 ds 以同一比例放大时（dx 亦然），它以平方的关系放大。因此，它等于 ds 2 乘以一个常数，而 ds 也因而等于一个以 x 的连续函数为系数的 dx 的正二次齐次式的方根。在物理空间中，如用直角坐标，则 ；物理空间是我们这个最简单的例子中的特例。下一个次简单的例子应该算是以四次微分式的四次方根来表示线元的流形了。研究这种更一般的情形并不需要新的原理，然而非常费事，且对物理空间的研究帮助不多，特别是因为其结果无法以
14、几何形式呈现。我因此只打算研究线元素能表为二次微分式方根的这种流形。若以 n 个新的独立变量的 n 个函数，代替原有的 n 个函数，则可将原来的式子转换成一个类似的式子。然而我们并不能中数网http:/第 5 页 共 10 页这样任意地用此法把一式变成另一式，因为这样的式子有 个系数是独立变量的任意函数 1 。引进新变量时只能满足 n 个条件，因此只能将 n 个系数的值求出。还剩下 个系数，完全取决于所代表的流形，而需要 个位置函数来定出它的度量关系。因此，像平面和物理空间这样子，线元素可写成 的流形，构成了一种特殊情形，是我们正要探讨的。他们需要一个名称；因此我想把这种线元素平方能以全微分平
15、方和之式子表示的流形叫做平（flat）的流形。为了分析上述流形的主要差别，必须除去依赖于表现方式的那些特性。为了达到这一点，我们要依据一定的原理来选择变量。2.基于以上的目的，我们要建立一个自一原点出发的测地线或最短曲线系统。如此，任意点可经由两个条件而确定其位置：连接该点与原点的最短曲线长度，以及此线在原点的初始方向。也就是说，找出 dx 0（起始点上沿最短曲线的 dx）的比值，及此线的长度 s，就可得所求点的位置了。我们现在引进一组线性表示 来代替 dx 0，使得在原点线元素的平方等于这些 的平方和，因此独立变量便成了 s，以及诸 的比。最后，找 x1, x2, x3, ,xn 使其与 成正比，且平方和等于 s 2。引入这个量之后，对于微量的 x，线元素的平方会等于 。但它的展式中的下一级则是一个有 项的二次齐次式：(x1dx2 - x2dx1), (x1dx3 - x3dx1), ，形成了一个四次的微量；我们若将它除以 , , 三点为顶点的三角形的平方，将得到一个有限值。此值在 x 和 dx 同属一个二元线性式时，或当由原点到 x 及由原点到 dx 这两条线属同一面元素时，是不会变的，因此视面元素的位置和方向而定。很显然，若我们的流行是平的，它会等于 0；此时线元素的平方可以化为 ；因而可以将该值视为在此面元素的方向上与平之偏差的一个指针。将它乘以 ，则便成了枢密顾问高斯所
