概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案

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1、习题二1. 设随机变量 的分布函数为X.6,1,32,04,)(xxF试求 的概率分布列及 ， ， ， .X)(XP)()(XP)3(解: 随机变量 的分布列为 0p412612则 ； ；)( 31)()0(F； .263PX 263PX2. 设离散型随机变量 的分布函数为 .2,13,0)(xbaxxF且 ，试求 ， 和 的分布列.21)(XPabX解：由分布函数的定义可知 又因为 ，则)( 67213)02()()( babaFP故 ， .61a5b3. 设随机变量 的分布函数为X.,1,ln,)(exx试求 ， ， .)5.2(P5.30()52.XP解: 根据题意 为连续型随机变量，则

2、X，ln)(F，1)0(.30.).( F。3ln5.12.1 4. 若 ， ，其中 ，试求 .xP)(2xP2x)(21xXP解: )(2XX)(1.)15. 一只口袋中有 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中任意取 3 个，以 表示取出的 3 个球中的最大号码.(1)求 的分布列； (2)写出 的分布函数，并作图.X解：(1)根据题意 表示取出球中最大的号码，则其可能取值为 3，4，5，故 其分布列为， .3512)(CkXPpk,k即 3451010106(2)由分布函数的定义可知 .5,1,423,)(xxF作图略.6. 有三个盒子，第一个盒子装有 1 个白球、4 个黑球；第

3、二个盒子装有 2 个白球、3 个黑球；第三个盒子装有 3 个白球和 2 个黑球.现任取一个盒子，从中任取 3 个球,以 表示X所取到的白球数.(1)试求 的概率分布列；X(2)取到的白球数不少于 2 个的概率为多少？解：(1)根据题意 表示所取到的白球数，则其可能取值为 ，,210故 其分布列为， .353523541)( CCkPp kkkk 3,即 X061210(2)根据题意，所求概率为.3)()()( XPP7. 掷一颗骰子 4 次，求点数 6 出现的次数的概率分布.解：以 表示骰子点数出现 6 的次数，则X)61,4(B故 其分布列为， .kkkCPp41)( ,320即 X0 48

4、23.58.7.15.08.8. 一批产品共有 100 件，其中 10 件是不合格品.根据验收规则，从中任取 5 件产品进行质量检验，假如 5 件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验.(1)试求 5 件中不合格品数 的分布列；(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？ 解：(1)以 表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为 0，1，2，4，5.X故 其分布列为， .5109)(CkPpkk 5,3,(2)根据题意，所求概率为.41620)()(PX9. 设某人射击命中率为 0.8，现向一目标射击 20 次，试写出目标被击中次数 的分布X列.解：以 表示目标被击中的

5、次数，则X)8.,2(B故 其分布列为， .kkkCPp020).8()( 20,1L10. 某车间有 5 台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有 10 分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求(1)同一时刻至少有 3 台车床用电的概率；(2)同一时刻至多有 3 台车床用电的概率.解： 以 表示同一时刻用电车床的台数，则X)61,5(BX故 其分布列为，kkkCPp5561)( .,20L(1)根据题意所求概率为；35.)()4()3(XPX(2)根据题意所求概率为.967011)( 11. 某优秀的射击手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3.试求该射

6、手三次射击所得的环数不少于 29 环的概率？解：以 表示射击手命中环 10 的次数，则X)7.0,3(B故 其分布列为， .kkkCPp3).(70)( 21根据题意所求概率为.7840)()212 XPX12. 设随机变量 和 均服从二项分布，即 ， .若XY,pB,pY，试求 ?98)1(P)(解：根据题意随机变量 ，则,pB， .kkC22)1(,10又因为 ，则)(.3298)(1 202 ppCXPX则 .)32,4(BY故 .8131)0(1)(1404YP13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：(1)每分钟恰有 8 次呼唤的概率；(2)每分钟呼唤次

7、数大于 8 的概率. 解：以 表示交换台每分钟的呼唤次数，则X)4(PX故 其分布列为，!)(ekPpk .,210L(1)根据题意所求概率为；98.!84)(8X(2)根据题意所求概率为.0217.11P14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数大于 5 的概率为多少？解：以 表示 300 件产品中的次品数，则X).,3(BX用参数为 的泊松分布作近似计算，得所求概率为30.np.083916.!1)(1)( 503keP15. 保险公司在一天内承保了 5000 份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则

8、公司需赔付 3 万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为 0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率.解：以 表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X )015,(BX用参数为 的泊松分布作近似计算，得所求概率为5.701.5np.862!.7)980()()( 105.05 kkk eCP16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001.在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于 2 的概率是多少？解：以 表示该汽车站每天出事故的车辆数，则X )01.,(BX用

9、参数为 的泊松分布作近似计算，得所求概率为1.0.10np.!.)2()2( 201.0keXP17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 ，则失败的概率为 ppq1.)10(p(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数 的分布列.X(2)将试验进行到第 次成功为止，求所需试验次数 的分布列.（此分布被称为负二项分rY布）解：(1)根据题意，以 表示试验第一次成功为止所需试验次数，则 服从参数为 的X p几何分布，其分布列为，1)()(kk pPp )10(,2,pL(2)根据题意，以 表示试验第 次成功为止所需试验次数，则 的可能取值为YrY， （即在 次伯努利试验中，最后已此一

10、定是成功，而前面 次中L,1mr 1k一定有 次是成功的，由二项分布得其概率为 ，再乘以最后一次成功 rkrkC)(1的概率 ） ，则其分布列为p， .rkrkk pCXP)1()( )0,pL18.一篮球运动员的投篮命中率为 0.45，求他首次投中时累计已投篮次数 的分布列，X并计算 为偶数的概率 . 解：根据题意，以 表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为X，1)45.0(.)(kkPp L,2故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为.35480.2111kkk19. 设随机变量 的概率密度为X.,0,2,)(其 它 xxf试求 .)51(P

11、解：由概率密度函数的定义可知.8750)2()().( 5.1105.1 dxxdfX20. 设随机变量 的概率密度为 .2,0,cos)(xAf试求：(1)常数 ;A(2) 落在区间 内的概率.X)4,0(解：(1)由概率密度函数的正则性可知 ；21cos)(12 AxdAdxf(2)根据题意，所求概率为.4cos)()40( 400xdfXP21. 设随机变量 的分布函数为 .1,)(2xAxF试求：(1)常数 ；A(2) 落在区间 内的概率；X)7.0,3(3) 的概率密度.解：(1)由分布函数的连续性可知；1)1(lim)(li)1(211 AFAxFx(2)根据题意，所求概率为；4.

12、037.0.3.0XP(3)由分布函数和密度函数的关系可知.,2)(其 它xxf22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为 .,0,10,15.)(4其 它 xxf试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在 5%以下？解：设该油站的储油罐容量为 升 ，以 表示该加油站每周油品销售量，则根a)(X据题意05.1105.05.)( 10 adxdxfaXPaa.46523. 在区间 上任意投掷一个质点，以 表示这个质点的坐标 .设该质点落在区间, X中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求 的分布函数和概率密度.,0解：

13、设 的分布函数为 ，则)(xF当 时，因为 是不可能事件，所以 ；xX0)()xPxF当 时，因为 是必然事件，所以 ；a 1(当 时，有 ，其中 为比例系数，由分0 kXP0)()布函数的右连续性可知， axaax)lim1则 的分布函数为X.,1,0,)(axF由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为 .,0,)(其 它f24. 设随机变量 服从区间 上的均匀分布，求对 进行 4 次独立观测中，至少有X1, X3 次的观测值大于 5 的概率？解：根据题意，随机变量 ，则其概率密度函数为)(U.,0,10其 它 xxf故 对 进行独立观测中观测值大于 5 的概率为X105.)()( d

14、xfXPp以 表示对 进行独立观测中观测值大于 5 的次数，则Y ),4(pBY故 所求概率为. 31250.).()4()3()( 13 C25. 设随机变量 ，求方程 无实根的概率和有实根的概5,0UK22Kx率.解：根据题意，随机变量 ，则其密度函数为(,).,0,51)(其 它 xxf根据韦达定理可得， 当 时，方程无实根，其概率为2032162KK；1216.)()( dxxfXP当 或 时，方程有实根，其概率为2.40)XPU26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以分计）服从指数分布，其概率密度为.,0,2.)(.xexf某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他便离开，他每月要到银行 5 次，以 表示他未等Y到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间 服从指数分布，则等候时间超过 10X分钟的概率为1022.10)()( edxdxfXPp以 表示他未等到服务而离开窗口的次数，则Y ),5(BY故 所求概率为。5167.0)1()()(1)( 202 CXP27. 某仪器装了 3 个独立工作的同型号电子元件，其寿命 （以小时计）都服从同一指X数分布 0,601)(xexf试求：此仪器在最初使用的 300 小时内，至少有一个该种电