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1、Comment c1: 帕斯卡写给费马的第一封信已不复存在。在 1654年 7月29日给费马的回信中，帕斯卡给出了点数问题的解法。帕斯卡所用的是“期望值方法” 。他先考虑 3点的情形。设甲、乙各下注 32 pistols，并且甲已经赢了 2点，乙已经赢了 1点。下一局中，如果甲赢，则他将获得所有的赌注（64 pistols ） ；如果乙赢，则两者都得 2点，此时两者赢得下一局的机会均等，每人各应取 32 pistols。因此，如果甲赢，则甲将获得 64 pistols；如果他甲输，则甲将获得 32 pistols。这样，如果赌博中止，甲可以对乙说：“即使我输了下一局，我也总能得到 32 pis
2、tols；至于另外 32 pistols，或许我得或许你得；我们的机会是均等的。因此我们应该平分这32 pistols。 ”因此甲应得 48 pistols，乙应得 16 pistols。 再假设甲已经赢了 2点，乙一点未赢。下一局中，如果甲赢，甲将得到全部 64 pistols；如果乙赢，则出现了上面讨论过的情形：甲应得 48 pistolss。因此，如果赌博中止，甲可以对乙说：“如果我赢了下一局，我就应得 64 pistols；如果我输了下一局，我就应得 48 pistols。给我必得的 48 pistols，平分另外的 16 pistols，因为赢得下一点的机会是均等的。 ”因此甲应得
3、56 pistols，乙应得 8 pistols。 1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出 30个金币，两人谁先赢满 3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了 2局，他的朋友赢了 1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的 60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿 20个金币，梅勒拿 40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半30 个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的 60个金币。在下一次掷
4、骰子之前，他实际上已经拥有了 30个金币，他还有 50%的机会赢得另外 30个金币，所以，他应分得 45个金币。赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒(设为甲) 和他朋友(设为乙) 最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌 2局即可分出胜负，这 2局有 4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前 3种情况都
5、是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按 3：1 的比例分配，即甲得45个金币，乙 15个。虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的。三年后，也就是 1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了论掷骰子游戏中的计算一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一
6、门严谨的科学。相同的概率，不同的结论有时，面对同一个概率事件，随着问题的着眼点不同，我们得出的结论可能截然相反。这一点会使一般人感到迷惑不解，我们在这里打一个通俗的比喻：某人是嫌疑犯，也找到了一些他的犯罪证据，但不是决定性的，若我们要求“只有找到了更重要的犯罪证据才能判他有罪” ，则他将被判为无罪；反之，若要求“只有找到了证明他没有犯罪的重要证据才能判他无罪” ，则他将被判有罪，在这里，着眼点的不同决定了不同的判罚。这方面的著名事例是辛普森杀妻案。1994 年 6月 12日深夜，美国洛杉矶西部一个豪华住宅区里，一只小狗在不停地狂吠，引起了邻居家的注意。当人们随着狗吠声来到一住宅门前时，赫然发现
7、两具血淋淋的尸体！警察接到报警后迅速赶到现场，发现两名死者是美国黑人橄榄球明星辛普森的妻子和一个餐馆服务员，而这所豪宅就是辛普森的家。警方在经过大量艰苦细致的调查后，搜集到了大量证据都表明辛普森有重大杀人嫌疑：他的汽车上染有死者血迹，车道上也发现血迹，案发现场还有染血手套和其它证据；还有证人作证说在辛普森妻子死亡的时间段内看到了辛普森就在其豪华住宅附近；历年报警记录还显示辛普森曾多次暴力虐妻。这些证据都对辛普森极为不利，检察官据此向法院控告辛普森犯有一级谋杀罪。遗憾的是，控方所提供的证据中有小一部分因不符合法定程序而不被法庭采信。即便如此，在这起案件中，辛普森杀人的概率也有 95%以上。然而，
8、最后的审判结果却让全世界大吃一惊：辛普森被无罪释放！原来，美国的刑事法律是建立在无罪推定的基础上的，尤其是对于杀人案这样重大的案件，要最后给被告定罪，控方所提供的证据要近乎 100%令人信服才行，稍有疑问就不得被判有罪。95% 以上的概率不足以使辛普森被判有罪。颇具戏剧性的是，当辛普森前妻的娘家在向法院提起民事诉讼时，法院却判决辛普森输，赔偿原告 3350万美元。之所以有如此结果，是因为刑事审判与民事审判的证据采用规则有差别，在民事诉讼中，只要原告提供的证据只要比被告的有说服力就可以赢。用数学概率来表示，刑事诉讼中控方需要近乎 100%的证明，民事诉讼中原告只要证明有 51%以上的可能性即可。
9、在这起案件中，95% 以上的概率足以使辛普森赔得倾家荡产。统计开辟概率新天地,早期人们对概率的研究，都局限于我们日常接触到的有限事件的组合，例如玩牌、赌博中的计算问题，彩票的中奖问题，体育比赛时的抽签问题，等等，这些都是古典概率问题。古典概率只能处理诸如赌博中有限事物的组合，有非常大的局限性。而自然与社会中有许多事件是非常复杂的，如人口统计、男女出生统计、消费统计、各种民意调查等等，无法用简单的古典概率穷尽。经过几代数学家的努力，大约用了 200 年的时间，概率论发生了质的飞跃，具备了与统计结合的条件，出现了统计概率。19 世纪初，由于生产力的迅猛发展，统计事业开始走向昌盛。比利时学者 A凯特
10、勒率先把统计方法从自然科学领域推广到社会科学领域，从而为人们认识社会发展规律的客观性打开了一扇窗口。凯特勒认为，规律躲避着我们的理智，因为我们观察到的只是单个人的行为，大量偶然性的、个体特征我们无法记录下它们。因此，需要一种崭新的、方法来反映社会的整体风貌和趋向。他把统计理论和概率理论结合起来，开创了统计概率应用的先河。凯特勒仔细研究了当时法国、比利时和英国的司法刑事机关报的汇编，惊讶地发现，这些国家每年犯罪的次数大体不变，不仅如此，各种类型的犯罪也有惊人的重复性。凯特勒本人都为这些惊人的发现所震动，他感叹道：“这是人类多么可悲的性质啊！监狱、铁链和断头台的命运对人类来说就像国家的收入一样，可
11、以以某种概率被预先决定。我们甚至能预先计算出来，下一年会有多少人将用和自己一样的血弄脏自己的手，有多少人将是伪造者，多少人是投毒者，这一切就像能够确定出生与死亡的数量一样。”凯特勒还分析了人的“自由意志”的其他表现，如结婚、自杀等，也得到同样的结果。在我们以为完全是由个人的自由意志决定的地方，仍然有客观规律在起作用，这真是冥冥之中无法逃脱的宿命。凯特勒的报告引起了当时社会的轰动。从此，统计走出了原来的杂乱无章的状况。把概率应用到统计中凯特勒是第一人，科学史上将凯特勒开创性的工作看作是现代统计学的起点，凯特勒也被誉为“现代统计学之父” 。从那以后，统计概率在社会中的应用得到了蓬勃发展，当时的各种
12、社会调查，如犯罪调查、贫民调查、工业调查、城市调查等都得到了广泛开展。这些调查使得人类首次能够从数学的角度审视自身行为、并把它们置于概率论模型下进行研究。用概率来统计的社会,统计概率对人们的观念的影响是深远的，自从十九世纪二三十年代凯特勒开创了统计概率以来，人们对统计数据规律性的信任超过了以往的任何一个时代。国家以各种报表来了解工业、农业、国防、人口、消费、犯罪等方面的资料。制定银行利息的高低需要消费指数和通货膨胀率，如果通货膨胀率高，消费指数低，银行就会考虑提高利率，反之亦然。国家举行重大活动需要了解几百年甚至上千年的天气资料，以避免遭遇恶劣天气的影响。例如，1990 年北京亚运会的举办时间
13、为 8 月 21 日至 9 月 6 日，就是因为根据统计资料显示，北京这期间遭遇恶劣天气的概率非常低。今天，统计概率已经渗透到社会科学、自然科学的方方面面，特别是计算机的广泛运用，使社会统计工作得以全面展开。我们耳熟能详的食品检测报告、人口统计、犯罪统计、国民生产总值的统计，国家和公司为了了解民意所进行的民意调查、市场调查，无一不涉及统计概率。同时，概率统计已经变成现代人理念与信念体系中的一部分。比如，对于美国大选，可以通过民意调查，用概率统计的方式计算某个候选人的受欢迎程度。而反过来，这种数据又一定程度左右人们的好恶，致使民意倾向变化，而影响到实际的选举过程。这说明概率统计的观念也影响到每一
14、个人的行为和生活方式。总之，从概率的思想走出机会性(博彩 )游戏的范围，到应用的不断深化，这一过程中人类的思想观念发生了巨大的转变，这就是概率带来的革命。概率不仅出现在人类社会生活中，在大自然的精心安排之下，生命的繁殖、进化也莫不服从于概率论的神奇安排。早在 1843 年，捷克修道士孟德尔首先为世人揭示了大自然的奥秘。醉心于自然科学的孟德尔，在闲暇研究植物的遗传规律，他选择了豌豆作为实验材料。豌豆是一种严格自花传粉的植物，它的雄蕊被花瓣包围，将外来的花粉拒之门外；同时，具有一些如高茎对矮茎、圆形对皱形、黄子叶对绿子叶、灰种皮对白种皮等具有明显差异的性状。孟德尔发现，当把不同品种的豌豆的这些性状
15、在遗传到下一代时，总是遵循着大约 31 的统计概率：高茎的与矮茎的植株比例为 2.84 比 1；圆形的与皱形的植株比例为 2.96 比 1；黄子叶与绿子叶的植株比例为3.01 比 1；灰种皮的与白种皮的植株比例为 3.15 为 1。现在，人们在教科书中称这个奇妙的比例为孟德尔第一定律，这个比例产生的原因是由于两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时，彼此分离，互不干扰，最后在生物传粉过程中随机组合，所以这个规律又称“分离定律” 。后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行时，不同对的遗传基因自由组合，而且机会均等。这就是孟德尔第二定律，也称“自由组合定律” 。孟德尔发现的分离规律和自由
16、组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程的体现。概率论在遗传学中也有及其重要的应用价值。可以说是遗传学是在概率论的基础上产生的。在对遗传学问题进行分析时,常常采用棋盘法或分枝法,这两种方法的主要依据都是概率中的两个定理乘法定理和加法定理。 1.加法定理 当一个事件出现时,另一个事件就被排除,这样的两个事件为互斥事件或交互事件。这种互斥事件出现的概率是它们各自概率的和。例如,肤色正常(A)对白化(a) 是显性。一对夫妇的基因型都是 Aa,他们的孩子的基因型可能是:AA、Aa、aA、aa, 概率都是 1/4。然而这些基因型都是互斥事件,一个孩子是 AA,就不可能同时又是其他。所以一个孩子表现型正常的概率是 1/4(AA)+1/4(Aa)+1/4(aA)=3/4(AA 或 Aa 或 aA)。 2.乘法定理 当一个事件的发生不影响另一事件的发生时,这样的两个独立事件同或相继出现的概率是它们各自出现概率的乘积。例如,生男孩和生女孩的概率都分别是 1/2,由于第一胎不论
