量子力学习题集1

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1、量子力学复习总结1.自由粒子可以看成是由平面波叠加而成的波包。 错2.若两个厄米算符不对易，它们可以有共同本征态。对3.量子体系的守恒量必须要有确定值。 错4.厄米算符的平均值和本征值一定为实数。 对5.电子自旋在空间的投影只能取两个值，导致碱金属谱线出现双线分裂现象。 错6.量子力学中的态叠加原理就是几率的叠加。 错7.描述量子态的波函数必定是单值，连续，有限的。 错8.若算符 A,B 为厄米算符,则A,B也是厄米算符。 错9.量子力学中，一切可观测力学量都是厄米算符。 对10.电子自旋的本质是电子本身在作高速自转。 错11.请给出德布罗意假设，并阐述其物理意义。，该公式首次将微观粒子波动性

2、和粒子性的联系在一个公式中表示。ph12. 自由粒子位于坐标 位置，请分别写出其在动量空间和坐标空间波函数0x的表示，和坐标算符 在动量表象中的形式。)其在坐标表象中可以表示为 ；其在动量表象中可以表示为)(00xx。h02/1)(ipxpe13. 波函数 和 （为实数）描述的是体系的同一状态吗？为什么？iC是. 根据波函数的统计诠释,只有几率密度 有物理上的实质作用.214. 动量的 分量 的本征态为什么。xxipxh由本征方程 ，得 ， xxpi) hxpipxce)(归一化后得 hipxx e2/1 )(15. 为氢原子中电子的波函数，其中 分别是zz mlnlnlmYrR),( zml

3、n,什么量子数，其取值范围各是多少？n 为主量子数，取值范围 1，2 ，3，.；为轨道角动量量子数，取值范围 0，1，2 ，3 ， ，n-1;lm 为轨道方向量子数（磁量子数） ，取值范围- ，-l+1，0 ， -1, ;l l为自旋方向量子数，取值范围- ， 代表电子自旋取向。z 2116.设 ， ， 的本征方程为 ,即 是 的本BAC,ABCC征值为 的本征方程，证明 和 也是 的本征值分别为 和12 1的本征函数。117. 试阐述玻色子和费米子的区别。(1)玻色子体系的波函数对于两个粒子交换对称，而费米子体系的波函数波对于两个粒子交换反对称；(2）玻色子的自旋为 的整数倍 ，而费米子的自

4、旋为 的半奇数倍h)2,10(s h；),2/31(s(3)玻色子遵循波色-爱因斯坦统计，费米子遵循费米 -狄拉克统计。18. 一维谐振子的动量平均值和坐标平均值分别为多少，为什么？对于( )的共同本征态 ，zl,2 ),(lmY坐标平均值为 0，因为 ；)(21)(211xnxaxnn 由谐振子波函数的正交性关系可得 0dn动量平均值为 0，因为 ；)(21)(2)(1xxaxdnnn 由谐振子波函数的正交性关系可得 0)(n19.请分别给出具有确定动量 的自由粒子在坐标表象和动量表象的波函数。0p答： 坐标表象中为 ;h/0021)(xipex动量表象中为 。020. 为氢原子中电子的波函

5、数，其中 分别是什zz mlnlnlmYrR),( zmln,么量子数，其取值范围各是多少？答: n 为主量子数，取值范围 0,1，2，3，；21. 为一算符，且有 ，求算符 的本征值?A 32AA设 为算符 的本征态， 为其对应的本征值，则有|，| 2上面两式可得 ；0|)32(|3| A得到 ，则 即为所求本征值。0321or22.物理中的守恒现象是与对称性高度相关的，试阐述能量守恒，动量守恒及角动量守恒所对应的对称性。 如体系具有时间平移不变性， ，即对应能量守恒；0,HE如体系具有空间平移不变性， ，即对应动量守恒；p如体系具有空间旋转不变性， ， 即对应角动量守恒。,l23. 设一维

6、自由粒子的初态 ，求 。h/0),(xipe),(t由于初态 是一个动量的本征态，具有确定的动量，因而具有确定的能)0,(x量 定态，因此 。mpE20 )2(0)0,()(),( tmpxiEtiEextfxt h24. 平面转子的哈密顿算符为 ， 为转动惯量，求能量本征值和本征IlHz2函数。 能量本征方程表为 ， 为能量本征值，由于角动量 z 分量EI2h对易，因此平面转子的哈密顿量与角动量分量有共同的本征函数及本0,Hlz征态即为 相应的能量本征值为 。,21,021)( meim ImE2/h25、升降算符 ，试证 yxlil)llz)h),Lliiiyxxyzzzzh),26、 和

7、 的平均值为 2xl)y 222 )1(h)mlllyx 2222 )(yx xyyxyxzzyxy xyzzxyzxyxzxl llihlihllil lilli)h)222 1zxz lll Q222 )1(1hmlllzx 27、 ， 和 为任意算符，请证明雅克比恒等式ABC成立。0,BACB0 , , )()()( , ACBACBCBACABCAB ABABCBAC28、 为动量算符， 为角动量算符，则有 成立。 pvlv pilp2vhv证明： xxzxy yxyzzxzxzxy yzyypip ppxlllh2, )()()()( 同理， yylzzpip2所以 lvhv29、粒

8、子在无限深势阱 axxV,0,)(中运动，求粒子的能量和波函数。在势阱内(0xa) ,定态薛定谔方程为022xEmxdh则方程的一般解为)kxsin(Ax式中 ,A 和 是待定常数.因势壁无限高,从物理上讲, 粒子不可能透过hmEk2势壁而出现在势阱之外,故势阱外波函数为零, 0xax由波函数的连续条件,要求 (0)=0,即 Asin=0,得 =0.再由 (a)=0,得0kasin所以 L,k321即,n,ak注意 n=0 给出的波函数 ,无物理意义, 而 n 取负整数给出的函数与 n 取正0整数给出的波函数相差一负号,由波函数的统计诠释,二者表示粒子的同一状态,n只取正整数即可.这样, 粒子

9、的能量为 Lh,321,2nmaEn对应的波函数为 xAxnhsi利用归一化条件,得 12si2020 adxdxaan取 ,得归一化波函数为A2Lh,n,xsiaxn 31230、一粒子处于 态, 求角动量的平方 及其 Z 分Yc,c, ,021 2v量 的可能值和平均值.zL的可能值为 和 ,相应的几率分别为 和 ,因此 的平均值为2v2h621c2L 0246810121420 2212212 36hhvcccL的可能值为 和 0, 相应的几率分别为 和 ,因此 的平均值为zLh12zL1210ccz31、设氢原子的状态为 ，求：1023YR（1）轨道角动量 z 分量 和自旋角动量 的平

10、均值（S z= ） zlzs 102h(2) 求总磁矩 的 z 分量的平均值 smelM)2（1） hh41041 2312321 10101 dYRdYRlYll zzz 2121210 0212121003s 331()4zz Yd dRRYRYd h（2） BmeesmleM24)32、一质量为 m 的粒子在一维势阱中运动，02/)(xxV求粒子的能级 和相应归一化波函数 。nE)(n如果把 x 的定义与延拓到 ，则问题化为通常的一维谐振子。此时由于，即势能 具有空间反射性。根据定理，如果 是)(V)(xV)(x方程的解，则 也是 方程的解，且有dingeroSch&dingeroSch

11、&(1)(1)(xxn现在，由于在区域 因此在 区域 (包括 )。因,)(,0Vx00nx此，根据波函数在 处的连续性， 。在 处，由式(1)得)(x(2)1nn式(2)只有在 n 为奇数时， ，从而 才成立。)0()( 0)(因此，本题只有奇宇称解： (3) ,531,21xHeNxnxnn相应的能量： (4) 5,3,)2(Eh33、氢原子基态波函数为 41),(),(),( 00/2/310 Yearar其 中 为玻尔半径，求 。axp因为 ，22)(x22)(xp因此，首先需求 ， ， ， 。xpx，0|),( 321010rdx因为 x 是奇而函数，而 为偶数，因此 。are23210|0x同理，可以证明 。xp另一方面， 其中 。240240)(2340232102 3sin1| adxeadrearraa arxrdrdppp 321023101010212 |),(),( h但是，考虑到 与 ， 无关，2,rrrzkyjrxi zrkyjxriji rr因此 2025025321024 sin1|adrea depa ahh 由于氢原子的波函数 与 ， 无关，即球对称，因此，电子的位置，10动量的几率分布对 x，y，z 也是对称的。即，22231arzyx 2231appzyx h由此得到 ， ,所以 。x2 xx23hxp