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1、高三数学第二轮专题复习 - 圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)0两条曲线的交点 若曲线 C1，C 2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y
2、)=0,则f1(x0,y0)=0点 P0(x0,y0)是 C1，C 2的交点f2(x0,y0) =0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.2.圆圆的定义点集：MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.圆的方程(1)标准方程圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(- ,- ，半径是 .配方，将方程DE24F-Ex2+y2+Dx+E
3、y+F=0 化为(x+ )2+(y+ )2=DE4F-2当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(- ,- );2DE当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x 0,y0)，则MCr 点 M 在圆 C 内，MC=r 点 M 在圆 C 上，MCr 点 M 在圆 C 内，其中MC= .2020b)-(ya)-(x(3)直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交 有两个公共点直线与圆相切 有一个公共点直线与圆相离 没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心 C(a,b)
4、到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 与半径 r 的大小关系2CBbAa来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件点集：(MMF 1+MF 2=2a,F 1F22a点集：MMF 1-MF 2.=2a,F 2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.圆 形标准方程+ =1(ab0)2axy-2ax=1(a0,b0)yy2=2px(p0)顶 点 A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0)轴对称轴 x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴 x=0,y=0实轴
5、长：2a 虚轴长：2b对称轴 y=焦 点 F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上 F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上 F( ，0)2P焦点对称轴上焦 距 F 1F2=2c，c= b-aF 1F2=2c,c= ba准 线 x= c准线垂直于长轴，且x= c准线垂直于实轴，且在x=- 2p准线与焦点位于顶点曲 线性质在椭圆外. 两顶点的内侧. 两侧，且到顶点的距离相等.离心率 e= ,0e1ace= ,e1ace=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆
6、锥曲线.其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率.当 0e1 时，轨迹为椭圆当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e1 时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x,y)
7、.设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h(1) 或(2)y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程 焦 点 焦 线 对称轴+ =12h)-(xa2k)-(yb(c+h,k) x= +hca2x=hy=k椭圆+ =1 (h,c+k) y= +k x=hy=k- =12h)(xa2k)(yb(c+h,k) = +kca2x=hy=k双曲线- =1 (h,c+h) y= +k x=hy=k(y-k)2=2p(x-h) ( +h,k)2px=-
8、+h2py=k(y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k) x= +h y=k抛物线(x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=- +k x=h(x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k)2py= +k x=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单
9、几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和
10、性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用
11、定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形” 设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 .【例题】【例 1】 双曲线 =1(bN)的两个焦点 F1、F 2，P 为双曲线上一点，24yx|OP|5,|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_.解：设 F1(c,0）、F 2(c,0)、P (x,y),则|PF1|2+|PF
12、2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(5 2+c2),即|PF 1|2+|PF2|250+2 c2,又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF 2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF 1| PF2|=4,依已知条件有|PF 1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c 2,c2 ,37又 c2=4+b2 ,b2 ,b2=1.5答案：1【例 2】 已知圆 C1 的方程为 ，椭圆 C2 的方程为32012yx，C 2 的离心率为 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点，且线段 AB12byax0恰为圆 C1 的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的
13、方程。解：由 .,2, 2cbace得设椭圆方程为 .12byx设 ).,2().,().,(1由 圆 心 为ByA422x又 ,1,1byby两式相减，得 .022x,)()(112yyx又 .422x得 ).(1yAB的 方 程 为直 线即 3xyyxC1F2 F1OAB将 得代 入 ,123byxy.0182x .07242CAB与与与Q由 .3)(212121 xxx得 .30742b解得 故所有椭圆方程.8.1862yx【例 3】 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 的2椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y= x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C
14、 上存在一点与21右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程.解法一：由 e= ,得 ,从而 a2=2b2,c=b.2ac12ab设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x 22)+2(y12y 22)=0, .)(211yx设 AB 中点为(x 0,y0),则 kAB= ,0又(x 0,y0)在直线 y= x 上，y 0= x0,2121于是 =1,k AB=1,0设 l 的方程为 y=x+1.右焦点(b,0) 关于 l 的对称点设为 (x,y), bybxy1
15、 12解 得则由点(1,1b) 在椭圆上，得 1+2(1b) 2=2b2,b2= .89,16aB Ay=12xoy xF2 F1所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x+1.29168yx解法二：由 e= ,从而 a2=2b2,c=b.,2abac得设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k 2)x24k 2x+2k22b 2=0,则 x1+x2= ,y1+y2=k(x1 1)+k(x21)=k (x1+x2)2k= .4k 21k直线 l：y= x 过 AB 的中点( ),则 ,y解得 k=0，或 k=1.若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y= (x1),即 y=x+1,以下同解法一.解法 3：设椭圆方程为 )1(0(2bax直线 不平行于 y 轴，否则 AB
