《高中数学函数总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数总结（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二、函数的单调性一、定义二、判断单调性的方法：（1）定义法：在给定的区间上任取 ， ，且设 ； 作差；定号下结论；1x212x(2)作商法：若 为区间 上的单调递增函数， 、 为区间内两任意值，那么有：()fxI12或12()0ffx1212)()0ffxx（若 为区间 上的单调递减函数， 、 为区间内两任意值，那么有：()fxI12或12()0ffx1212)()0ff（3）复合函数的单调性：对于函数 和 ，如果函数 在区间(yfugx()ugx上具有单调性，当 时 ，且函数 在区间 上也具有(,)ab,ab,mn()yf,mn单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。同增异减。()yfg（4
2、）由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断：对于两个单调函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：)fx IJI(1)当 和 具有相同的增减性时，函数 的增减性与 (或()fxg1()()Fxfgx)fx)相同， 、 、 的增减性g2()Ffxg3()xfg40()f不能确定； (2)当 和 具有相异的增减性时，我们假设 为增函数， 为减函数，那()fxg ()fx()gx么：增函数，3()()Fxfgx、 ，12()Ffxg4()0)fxg5()0f的增减性不能确定；（5）导数法：对 y=f(x)求导 三、复合函数的定义域,值域,单调性四、导数1、定义问: ,)()(lim000x
3、fxffx xff3)(lim00， ,)30 x)li xf)(2li 002、几何意义 3、基本初等函数的导数公式 求切线方程时，把在某点处的切线与过某点的切线混淆。求函数 在图像上某点处的切线方程是导数的重要应用之一。当点 P 在曲线()yfx上时，求过点 P 的切线方程有以下两种可能的情形：一是 P 点就是切点，二f是切线以曲线 上另一点为切点，但该切线经过点 P。注意：曲线在点 P 的切线，()yfx只指前一种情形。4、复合函数的导数公式例题：5、利用导数判断函数的单调性求 的单调区间 求 的单调区间3xy 2xy注意： ，但)(0)(,xfxfba 0)()(ff，但),(fx x
4、3xy2xy例 3 求函数 的单调递增区间。()ln(1)0fxx错解：由题意，得 令 得 解得 ,2f ()0,fx210,x1.x又函数的定义域是（0，+） ，函数的单调递增区间是（0,1）和（1,+ ） 。剖析：对于 的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不()0()fxf能草率地下结论。此题就是错在对函数在 x=1 处是否连续没有进一步研究，显然函数在 x=1 处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0,+ ） 。正确答案：（0,+ ）五、反函数其 实 如 果 A B 是 一 一 映 射 ， 那 么 就 存 在 B A 的 逆 映 射 ， 且 该 映 射 亦 为 一 一 映 射 。这
5、 两 个 映 射 也 是 原 函 数 和 反 函 数 对 应 的 两 个 映 射 一 般 来 说 ， 若 一 个 函 数 具 有 严 格 的 单 调 性 ， 则 该 函 数 的 定 义 域 与 值 域 之 间 存 在一 一 映 射 关 系 。一 个 函 数 的 反 函 数 存 在 的 条 件 ： 若 函 数 在 定 义 域 内 单 调 ， 则 该 函 数 在 此 定 义 域 内存 在 反 函 数 ， 且 唯 一反函数的求法：(1)互换 X,Y(2)用 X 来表达 Y原函数和反函数的性质：（1）原函数的定义域为饭函数的值域（2）原函数的值域为饭函数的定义域（3）原函数与反函数的图像关于 y=x
6、对称（4）原函数与反函数的单调性相同反三角函数的图像和性质 arcsinyxarcosyxarctnyx定义域 1,1,R值域 ,20， ,2单调性在 上单调递增1,无减区间在 上单调递减1,无增区间在 R 上单调递增无减区间奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数图象321-1-2-2 2 4 6 81-1-22 321-1-2 2 4 6 8-1 1O2321-1-2-2 2 4 6 8O-22运算公式 1arcsin()arcsinxx1,arcos()arcosxx,arctn()arctnxxR运算公式 2arcsi(),2xarcs(),0xarct(),(,)2x运算公式 3in(r
7、),1,o(r),1,tn(r),R运算公式 4arcsinrs,2xxactcot2x三、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数 的定义域内任意一个 ：)(xf x 是偶函数；)(f 奇函数；)(xf)(f函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称, 且函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件.、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x、可
8、逆性： 是偶函数；)(xff)(f奇函数；、等价性： )(xff 0)(xff、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；y注意函数 y=f(x)与 y=kf(x)的单调性与 k(k0)的相关性;.(1)(2)若函数 是奇函数,且在 处有定义,那么 )(xf 0x0)(xf(3)任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式.例 的定义域关于原点对称,则 为偶函数, )(fy 2)(fxg为奇函数，且2)xfxhhf四、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查 是否与 、 相等，判断步骤如)(xf)(x
9、ff下：、定义域是否关于原点对称；、数量关系 哪个成立；)()(xff例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性、 、 xf2)(3243)(xxf、 、 1f 2f,1、 、xxf2)( 22)(xxf解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例 2：判断函数 的奇偶性。)0()(2xf .)(,)( )()(0,)()(: 222为 奇 函 数故总 有 有时即当 有时即当解 xffxf xffxf第二种方法： 求两个函数加（减） 、积是否为奇偶函数 时，首先应该求两函数的定义域，再判断两函数的定义域交集
10、是否关于原点对称.在判断两函数定义域关于原点对称后可以利用以下结论:两个奇函数的和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题 2 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与 f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|= 不能保证 f(-x)=
11、f(x)或),0(),xff(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数 f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数 f(|x|)是偶函数。命题 3 如果函数 f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数 f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数 f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关),12(,Nnx于原点对称，也不关于 y 轴对称，故此函数非奇非偶。命题 4 的定义域关于原点对称, 函数 f(x)+f(-x)是偶函数，函数 f(x)-f(-x)是)(xf奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题 5 已知函数 f(x)是奇
12、函数，且 f(0)有定义，则 f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题 6 已知 f(x)是奇函数或偶函数，方程 f(x)=0 有实根，那么方程 f(x)=0 的所有实根之和为零；若 f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程 f(x)=0 有奇数个实根。此命题正确。方程 f(x)=0 的实数根即为函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若 f(x0)=0，则 f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有 f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例 1：已知 且 ，那么8)(35bxaxf 10)2(f )2(f2、利
13、用奇偶性比较大小例 2：已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。)(xf0,)5(f1(f)3f3.利用奇偶性求解析式例 3：已知 为偶函数 ，求 的解析式？)(xf 时当时当 0,1)(, xxf )(xf4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？3)()2()kf )(f5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知函数 是偶函数，判断 的奇)0()(23acxbaxf cxbaxg23)(偶性。6、利用奇偶性求参数的值例 6：定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，若)(xf)0,，则 的取值范围是如何？123()12(afaf7、利用图像解题例 7
14、（2004.上海理）设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若 当x0,5时, f(x)的图象如右图, 则不等式 的0xf 解是 .8.利用定义解题例 8.已知函数 ，若 为奇函数，则 _。1().2xfafxa四、周期性一、定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有)(xf x，则 为周期函数，T 为这个函数的周期. (Tf)(xf二、函数的周期性的主要结论：结论 1：如果 （ ） ，那么 是周期函数，其中一个周期()()fafba()fxab结论 2：如果 （ ） ，那么 是周期函数，其中一个周期()()fxfx()fT结论 3：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 对称，那么 是周R()fxab()fx期函数，其中一个周期 2Tab结论 4：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，()fx0()f其中一个周期结论 5：如果奇函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，()f xa()fx其中一个周期 4Ta结论 6：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，那么 是周期,ac,b()f函数，其中一个周期 2结论 7：如果奇函数 关于点 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，()fx,0()fx其中一个周期 Ta结论 8：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且关于直线 （()f,acb
