《2017-2018年高中数学 考点33 直线、平面垂直的判定及其性质（含2015年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点33 直线、平面垂直的判定及其性质（含2015年高考试题）新人教a版（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015浙江高考文科T7)如图,斜线段 AB 与平面 所成的角为 60,B 为斜足,平面 上的动点 P 满足PAB=30,则点 P 的轨迹是()A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断.【解析】选 C.由题可知,当 P 点运动时,在空间中满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成 60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.二、解答题2 （2015四川高考文科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母 ,FGH标记在正方体相应的顶
2、点处（不需说明理由）（II）判断平面 BE与平面 AC的位置关系，并证明你的结论（III）证明： D平面 GD CB H FF E D CA B【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】2（I）如图(1)由展开图可知， F在 B的上方， GC在 的 上 方 ， HD在 的 上 方 ，如图H G FED CA B（II）连接 ,HEG，如上图因为四边形 C和四边形 AH为 平行四边形 ，所以 /BECH， /GA又因为 ,BE平面
3、，且 ,平面所以 /平面 ， /平面 BE又因为 ,HA平面 ，且 A所以平面 BEG/平面 C（III）连接 ,DF，交点坐标如下图，取 ,DHC中点分别为 ,JK，连接,JMKNKJ NMH G FE D CA B因为 ,JMKN分别为 ,HFC中点所以 /DF设正方体棱长为 2a，则 5EJGBKa3所以三角形 ,JEGKBN为等腰三角形，所以 M那么 ,DF又因为 EGB平面 E，且 GB所以 平面 。ABCEFO3.(2015北京高考理科T17)(14 分)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面AEF平面 EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB
4、=60,O 为 EF 的中点.(1)求证:AOBE.(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值.(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值.【解题指南】(1)要证 AOEB,只需证明 AO平面 EBCF.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角余弦值.(3)将 BE平面 AOC 转化为 BEOC,再利用数量积为 0,解出 a.【解析】(1)因为AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AOEF.又因为平面 AEF平面 EFCB,交线 EF,AO平面 AEF,所以 AO平面 EBCF.因为 BE平面 EBCF,所以 AOBE.4ABCxFOyzE(2)取 BC 的中点 D,连接 OD.如图
5、分别以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 (0,3)Aa (,0)E ， (2,3,0)a ， (03),AEaur2Bur，设平面 ABE 的法向量 n1=(x,y,z),则1302()30nAEaxzayzru，令 z 得 312ya ，所以 1(3,)nur。平面 AEF 的法向量 (0,)nur。所以 1212 5cos,|r 。因为二面角 F-AE-B 为钝二面角，所以余弦值为 5 。（3）由（1）知 AOEFCB平 面 。因为 EFCB平 面 ，所以 AOEB 。要使 BE平面 AOC，只需 。因为 (2,3,0)aur， (2,3,0)aur，所以 4(
6、23Ca ，即 218 ，解得 （舍） 或 。4. (2015北京高考文科T18)(14 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB平面 ABC,5VAB 为等边三角形,ACBC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点.2(1)求证:VB平面 MOC.(2)求证:平面 MOC平面 VAB.(3)求三棱锥 V-ABC 的体积.A BCOMV【解题指南】(1)只需证明 MOVB.(2)只需证明 OC平面 VAB.(3)变换顶点,把 C 看作顶点,CO 看作是高.【解析】(1)因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OMVB.又因为 OM平面 MOC,VB平面 MOC,
7、所以 VB平面 MOC.(2)因为 AC=BC,O 为 AB 中点,所以 OCAB.因为平面 VAB平面 ABC,交线 AB,OC平面 ABC,所以 OC平面 VAB.因为 OC平面 MOC,所以平面 MOC平面 VAB.(3)由(2)知 OC 为三棱锥 C-VAB 的高,因为 ACBC 且 AC=BC= ,所以 OC=1,AB=2.2因为VAB 为等边三角形,所以 SVAB = 12 3= .133VABCVAB。5.(2015广东高考理科T18)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边的中点,点 F,G 分
8、别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.6(2)求二面角 P-AD-C 的正切值.(3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE平面 ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决.【解析】 （1）证明：因为 PDC且点 E为 D的中点，所以 E，又平面 平 面 AB，且平面 PCI平面 ABDC，P平面 C，所以 平面 AB，又 FG平面 ，所以 F；（2）因为 ABCD是矩形，所以 ，又平面 P平面 ABCD，且平面 P
9、I平面 ABCD，平面 ，所以 A平面 ，又 、 平面 ，所以 DC， ，所以 P即为二面角 PADC的平面角，在 RtE中， 4， 132EB， 27PED，所以 7tan3C即二面角 的正切值为 3；（3）如下图所示，连接 A，因为 2AFB， 2G即 2FCGB，所以 /C，PA BCD EFG7所以 PAC为直线 与直线 FG所成角或其补角，在 中， 25DA， 235CAD，由余弦定理可得 22253495cosPAC，所以直线 PA与直线 FG所成角的余弦值为 9256. (2015广东高考文科T18)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=
10、4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面 PDA.(2)证明:BCPD.(3)求点 C 到平面 PDA 的距离.【解题指南】(1)由四边形 CD 是长方形可证 CD,进而可证 C平面 D.(2)先证 CCD,再证 C平面 DC,进而可证 CD.(3)取 CD 的中点 ,连接 和,先证 平面 CD,再设点 C 到平面 D 的距离为 h,利用 V 三棱锥 C-D =V 三棱锥 -CD 可得 h 的值,即得点 C 到平面 D 的距离.【解析】(1)因为四边形 CD 是长方形,所以 CD,因为 C平面 D,D平面 D,所以 C平面 D.(2)因为四边形 CD 是长方形,所以 CCD,PA BCD
11、EFG8因为平面 DC平面 CD,平面 DC平面 CD=CD,C平面 CD,所以 C平面 DC,因为 D平面 DC,所以 CD.(3)取 CD 的中点 ,连接 和 ,因为 D=C,所以 CD,在 RtD 中, 2D2437,因为平面 DC平面 CD,平面 DC平面 CD=CD,平面 DC,所以 平面 CD,由(2)知:C平面 DC,由(1)知:CD,所以 D平面 DC,因为 D平面 DC,所以 DD,设点 C 到平面 D 的距离为 h,因为 V 三棱锥 C-D =V 三棱锥 -CD ,所以 SD h= SCD ,13 13即 CD673224hA,所以点 C 到平面 D 的距离是 .7. （2
12、015安徽高考文科T19）如图，三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC，1,2,60PABACo.(1)求三棱锥 P-ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求PMC的值。9【解题指南】根据三棱锥的体积公式和线面垂直关系及平行线段成比例进行解答。【解析】 （1）由题意可得013.sin622ABCSV，由 PA平面 ABC ，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高，又 PA=1，所以所求三棱锥的体积为3.36ABCVSP.(2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC,，垂足为 N，在平面 PAC 内，过嗲按 N 作 MN/PA 交PC 于点 M，连接
13、BM，由 PA 平面 ABC 知 PA AC,所以，MN AC,由于 BM,所以 AC平面 MBN，又 平面 MBN，所以 AC BM,在直角三角形 BAN 中，AN=1.cos2ABC,所以 NC=AC-AN=32，由 MN/PA，得PMC=13AN,108. (2015浙江高考理科T17)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1的中点.(1)证明:A 1D平面 A1BC.(2)求二面角 A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】(1)取 BC 的中点 E,连接 A1E,AE,DE,由题意
14、得 A1E平面 ABC,所以 A1EAE,因为 AB=AC,所以 AEBC,故 AE平面 A1BC,由 D,E 分别是 B1C1,BC 的中点,得 DEB 1B 且 DE=B1B,所以 DEA 1A,所以四边形 A1AED 是平行四边形,故 A1DAE,又因为 AE平面 A1BC,所以 A1D平面 A1BC.(2)作 A1FBD,且 A1FBD=F,连接 B1F.由 AE=BE= ,A 1EA=A 1EB=90,2得 A1B=A1A=4,由 A1D=B1D,A1B=B1B,得A 1DBB 1DB,由 A1FBD,得 B1FBD,因此A 1FB1为二面角 A1-BD-B1的平面角,由 A1D=
15、,A1B=4,DA 1B=90,得 BD=3 ,2 2A1F=B1F= ,由余弦定理得 1cos8FB .439.(2015浙江高考文科T18)如图,在三棱锥 ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA 1=4,A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1的中点.11(1)证明:A 1D平面 A1BC.(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值.【解析】(1)取 BC 的中点 E,连接 A1E,DE,AE,由题意得 A1E平面 ABC,所以 A1EAE,因为 AB=AC,所以 AEBC,故 AE平面 A1BC,由 D,E 分别是 B1C1,BC 的中点,得 DEB
