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1、探究洛仑兹力 学案一、复习目标1 掌握洛仑兹力，掌握带电粒子在匀强磁场中的运动规律。2特别是匀速圆周运动的一些基本特征。3了解速度选择器，质谱仪，回旋加速器等的工作原理。二、难点剖析1、洛伦兹力运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为 F 安 =BIL；其中 I=nesv；设导线中共有 N个自由电子 N=nsL；每个电子受的磁场力为 F，则 F 安 =NF。由以上四式可得 F=qvB。条件是 v与 B 垂直。当 v 与 B 成 角时，F=qvBsin 。2、磁场对运动电荷的作用。带电量为 q、以速度 在磁感强度为
2、B 的均强磁场中运动的带电粒子所受到的作用为称为洛仑兹力，其大小 fB 的取值范围为0f Bq B.当速度方向与磁场方向平行时，洛仑兹力取值最小，为零；当速度方向与磁场方向垂直时，洛仑兹力取值最大，为 qB.如果速度方向与磁场方向夹角为 ，可采用正交分解的方式来处理洛仑兹力大小的计算问题。而洛仑兹力的方向则是用所谓的“左手定则”来判断的。磁场对运动电荷的洛仑兹力作用具备着如下特征，即洛仑兹力必与运动电荷的速度方向垂直，这一特征保证了“洛仑兹力总不做功” ，把握住这一特征，对带电粒子在更为复杂的磁场中做复杂运动时的有关问题的分析是极有帮助的。3、带电粒子在磁场中的运动（1 ）电荷的匀强磁场中的三
3、种运动形式。如运动电荷在匀强磁场中除洛仑兹力外其他力均忽略不计（或均被平衡） ，则其运动有如下三种形式：当 B 时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动；当 B 时，所受洛仑力充分向心力，做半径和周期分别为R= ，T=qmB2的匀速圆周运动；当 与 B 夹一般角度时，由于可以将 正交分解为 和 （分别平行于和垂直IBF安F于）B，因此电荷一方向以 的速度在平行于 B 的方向上做匀速直线运动，另一方向以的速度在垂直于 B 的平面内做匀速圆周运动。此时，电荷的合运动在中学阶段一般不要求定量掌握。三、典型例题。例题 1 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与
4、 MN 成 30角的同样速度v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e） ，它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距 2r，由图还可看出，经历时间相差 2T/3。答案为射出点相距 ，时Bemvs2间差为 。关键是找圆心、找半径和用对称。Bqmt34例题 2 如图5 所示，在 y0 的区域内 存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为 B.一带正电的粒子以速度 0 从 O 点射入磁场，入射方向在 xy平面内，与 x 轴正向
5、的夹角为 .若粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 l，求该粒子的电量和质量之比 。 图5mq分析：注意到几何关系的确认。 解答：如图6 所示，带电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从 A 点射出磁场，O、A 间的距离为l.射出方向与 x 轴的夹角仍为 ，由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，q 0B=m R2式中 R 为圆轨道的半径 解得 R= qBm0圆轨道的圆心位于 OA 的中垂线上，由几何关系可得 =Rsin2l联立上述两式，解得 =mqlBsin20例题 3一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的P（a，0）点以速度 v，沿与 x 正方向成 60的
6、方向射入第一象限内M NBOvyxoBvvaO/的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。解：由射入、射出点的半径可找到圆心 O/，并得出半径为 ；aqmvvar23,32得射出点坐标为（0， ） 。a3例题 4. 一个负离子，质量为 m，电量大小为 q，以速率 v 垂直于屏 S 经过小孔 O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度 B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图 1 中纸面向里.（1 ）求离子进入磁场后到达屏 S 上时的位置与 O 点的距离.（2 ）如果离子进入磁场后经过时间 t 到达位置 P，证明:直线 OP与离子入
7、射方向之间的夹角 跟 t 的关系是 。tmqB2解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为 r，则据牛顿第二定律可得：，解得vmBq2Bqvr如图所示，离了回到屏 S 上的位置 A 与 O 点的距离为：AO=2r所以 BqvAO2（2 ）当离子到位置 P 时，圆心角： tmBqrv因为 ，所以 .tmq2画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线） 。偏角可由 求出。经历时间由 得出。Rr2tanBqt注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。例题 5 如图所示，一个质量为 m、电量为 q 的正离子，从A 点正对着圆心 O 以速度 v
8、 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。圆筒内存O BSvPr vRvO/OOAv0 B在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间 t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（ ） ，则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为 2/（n +1） .由几何知识可知，2离子运动的半径为 1tanRr离子运动的周期为 ，又 ，qBmT2rv2所以离子
9、在磁场中运动的时间为 . 1tanvRt例题 6. 圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为 L 的 O处有一竖直放置的荧屏 MN，今有一质量为m 的电子以速率 v 从左侧沿 OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之 P 点，如图所示，求 O P 的长度和电子通过磁场所用的时间。解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为 O ，半径为 R。圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角为 ，电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动， 如图 4 所示，连结 OB， OAO OBO ，又 OAO A，故 OB OB，
10、由于原有 BPOB，可见 O、B、P 在同一直线上，且OOP= AOB= ，在直角三角形 P 中，OP=（L +r）tan ，而， ，所以求得 R 后就可)2(tan1t)t(以求出 OP 了，电子经过磁场的时间可用 t=来求得。VRAB由 得 R=vme2tan)(.rLOPeB，VrR)2tan( OMNLA O P MNO,LA OR /2 /2 B PO/222)(tan1t rBevm，22, )trLrLPO)actn(22rBevmrta22vRt例题 7. 长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为 L，板不带电，现有质量为 m，电量
11、为 q 的带正电粒子（不计重力） ，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板 上，可采用的办法是：A使粒子的速度 v5BqL/4m；C使粒子的速度 vBqL/m；D使粒子速度 BqL/4m5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O点，有 r2L/4，又由 r2mv 2/Bq=L/4 得v2BqL /4mv 2d，即 vBed/m.例题 9 如图 2 所示，有 a、b、c、d 四个离子，它们带等量同种电荷，质量不等，有 ma=mbm c=md，以不等的速度 a b c d 进入速度选择器后，有两种离子从速度选择器中射出，进入 B2 磁
12、场，由此可判定（ ）A射向 P1 的是 a 离子 B射向 P2 的是 b 离子C射到 A1 的是 c 离子 D射到 A2 的是 d 离子 图2分析：比例解答要求了解“速度选择器”和“质谱仪”的基本原理。解答：从离子在磁场 B2 中的偏转方向可知离子带正电，而正离子在速度选择器中受到磁场 B1 的洛仑兹力方向又可由左手定则判断为向右，电极 P1、P 2 间的电场方向必向左，因为q bB1=q cB1=qE，所以能沿直线穿过速度选择器的必然是速度相等的 b、c 两离子；因为q aB1 qE，所以 a 离子穿过速度选择器必向左偏；因为 q dB1qE，所以 d 离子穿过速度器时必向右偏；因为 ，所以
13、在 B2 中偏转半径较小而射到 A1 的是 b 离子，在2qmb2cB2 中偏转半径较大而射到 A2 的是 C 离子。即经例应选 A。例题 10霍尔效应：（2000 年理科综合第 29 题）如图（4）：厚度为 h，宽度为 d 的导体板放在垂直于它的磁感应强度为 B 的均匀磁场中，当电流通过导体板时,在导体板的上侧面 A 和下侧面 A之间会产生电势差。该现象称为霍尔效应。实验表明，当磁场不太强时，电势差U，电流 I 和 B 的关系为 U=KIB/d。其中比例系数 K 称为霍尔系数。 分析：外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另外一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横
14、向电场对电子施加与洛仑兹力方向相反的静电力。当静电力与洛仑兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就形成稳定的电势差。设电流 I 是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为 v，电量为 e，则：(1) 达到稳定状态时，导体板上侧面 A 的电势 下侧面 A的电势。 （填高于、低于或等于） 。这里要提醒学生注意的是导体板中移动的是自由电子，如图当电流向右时电子向左定向移动，根据左手定则可知电子受到的洛仑兹力向上，从而在上侧面 A 聚集电子带负电，下侧面 A因失去电子而带正电。故 A A 。(2) 电子受到的洛仑兹力的大小为 evB 。(3) 当导体板上下两侧之间的电势差为 U 时，电子所受到的静电力
15、大小为 因为稳定时静电力等于洛仑兹力，故 F 电 =qE=eU/h 或 evB。(4) 由电场力和洛仑兹力的平衡条件证明霍尔系数 K=1/ne，其中 n 代表导体板单位体积内电子的个数。证明：由 F 电 =F 洛 ，有 eU/h=evB, 得 U=Bvh，而已知 U=KIB/d ， I=q/t=nehdvt/t=nevhd。代入 Bvh=KnevhdB/d，得 K=1/ne。在2001年理科综合考试第24题中，再次考到霍尔效应。命题材料是电磁流量计，知识点比上题多考了电阻定律和闭合电路欧姆定律, 这里不再重复了。例题 11 如图-4 所示，A、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d=1.010-2m，A 板上有一电子源 P，Q 点为 P 点正上方 B 板上的一点，在纸面内向 Q 点发射速度在03.210 7m/s
