《2017-2018年高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型学案（含解析）新人教a版必修3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型学案（含解析）新人教a版必修3（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -3.2.1 古典概型1基本事件有哪些特征？2如何判断一个试验是否是古典概型？3古典概型的概率公式是什么？有序和无序型问题例 1从含有两件正品 a1， a2和一件次品 b 的三件产品中，每次任取一件(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率解(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个，即( a1， a2)，( a1， b)，( a2， a1)，( a2， b)，( b， a1)，( b， a2)其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右
2、边的字母表示第 2 次取出的产品总的事件个数为 6，而且可以认为这些基本事件是等可能的用 A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以 A . a1， b ， a2， b ， b， a1 ， b， a2 因为事件 A 由 4 个基本事件组成，所以 P(A) .46 23(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为( a1， a1)，( a1， a2)，( a1， b)，( a2， a1)，(a2， a2)，( a2， b)，( b， a1)，( b， a2)，( b， b)，共 9 个基本事件组成由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的用 B 表示“恰有
3、一件次品”这一事件，则 B( a1， b)，( a2， b)，( b， a1)，( b， a2)事件 B 由 4 个基本事件组成，因而 P(B) .49类题通法解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无- 2 -顺序的，其最后结果是一致的但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以( a1， b)，(b， a1)不是同一个基本事件解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的活学活用一个袋中装有四个形状
4、、大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n m2 的概率解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1 和 2,1 和 3,1和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4，共 6 个从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有：1和 2,1 和 3，共 2 个，因此所求事件的概率为 P .26 13(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其
5、一切可能的结果( m， n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个又满足条件 n m2 的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个所以，满足条件 n m2 的事件的概率为 P1 ，316故满足条件 n m2 的事件的概率为1 P11 .316 1316数字型问题例 2某城市的电话号码是 8 位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是 8 的概率；(2)头两位数字都不超过 8 的概率解电话号码每
6、位上的数字都可以由 0,1,2，9 这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为 n10 8.(1)记“头两位数字都是 8”为事件 A，则若事件 A 发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选 8，后六位各有 10 种选法，故事件 A 包含的基本事件数为 m110 6.所以由古典概型概率公式，得 P(A) 0.01.m1n 106108 1100(2)记“头两位数字都不超过 8”为事件 B，则事件 B 的头两位数码都有 9 种选法，即从- 3 -08 这 9 个数字中任选一个，后六位各有 10 种选法，故事件 B 所包含的基本事件数为 m28110 6.所以由古典概型概率公式，得 P(B
7、) 0.81.m2n 81106108类题通法解决数字型问题(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为 0.(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解活学活用储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从 0 到 9 共 10 种取法，故这种号码共有 106个由于随意按
8、下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率 P .1106(2)按六位号码的后两位数字共有 1010100 种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为 P .1100概率与统计的综合问题例 3某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 所学校均为小学的概率解(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.
9、(2)在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1， A2， A3,2 所中学分别记为 A4， A5，大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为( A1， A2)，( A1， A3)，( A1， A4)，( A1， A5)，- 4 -(A1， A6)，( A2， A3)，( A2， A4)，( A2， A5)，( A2， A6)，( A3， A4)，( A3， A5)，( A3， A6)，(A4， A5)，( A4， A6)，( A5， A6)，共 15 种从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为( A1， A2)，(A1， A3)，( A2，
10、A3)，共 3 种所以 P(B) .315 15类题通法使用古典概型的概率公式的两个关键点(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键(关键词：不重不漏)(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧(关键词：简单的数字和字母)活学活用某 iPhone 手机专卖店对某市市民进行 iPhone 手机认可度的调查，在已购买 iPhone 手机的 1 000 名市民中，随机抽取 100 名，
11、按年龄(单位：岁 )进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁) 频数25,30) 530,35) x35,40) 3540,45) y45,50) 10合计 100(1)求频数分布表中 x， y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这 100 名市民中，从年龄在25,30)、30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取 5 人参加 iPhone 手机宣传活动，现从这 5 人中随机选取 2 人各赠送一部 iPhone 7 手机，求这 2 人中恰有 1 人的年龄在30,35)内的概率- 5 -解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，Error!解得Error!频率分布直方图中年龄
12、在40,45)内的人数为 30，对应的 为 0.06，所以频 率组 距 301005补全的频率分布直方图如下：(2)由频数分布表知，在抽取的 5 人中，年龄在25,30)内的市民的人数为 5 1，记为 A1，年龄在30,35)内的市民的人数为5255 4，分别记为 B1， B2， B3， B4.2025从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件为： A1， B1， A1， B2， A1， B3， A1， B4，B1， B2， B1， B3， B1， B4， B2， B3， B2， B4， B3， B4，共 10 个记“恰有 1 人的年龄在30,35)内”为事件 M，则 M 所包含的基本事件有 4
13、 个： A1， B1，A1， B2， A1， B3， A1， B4所以这 2 人中恰有 1 人的年龄在30,35)内的概率为 P(M) .410 252.古 典 概 型 与 其 他 知 识 的 交 汇 问 题典例设集合 A ， B ，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，1， 2 1， 2， 3确定平面上的一个点 P(a， b)，记“点 P(a， b)落在直线 x y n 上”为事件Cn(2 n5， nN)，求使事件 Cn的概率最大的 n 的所有可能取值解题指导点 P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)若点 P(a， b)落在直线
14、 x y n(2 n5)上，则：当 n2 时，点 P 只能是(1,1)；当 n3 时，点 P 可能是(1,2)，(2,1)；当 n4 时，点 P 可能是(1,3)，(2,2)；当 n5 时，点 P 只能是(2,3)故事件 C3， C4的概率最大，所以 n 可取 3 或 4.- 6 -多维探究古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例 3 是古典概型与统计的交汇问题另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题角度一古典概型与方程相结合问题设关于 x 的一元二次方程 x22 ax
15、b20，若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件 A 为“方程 x22 ax b20 有实根” 当 a0， b0 时，方程 x22 ax b20 有实根意味着 (2 a)24 b20，即 a b.基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共 12 个其中第 1 个数表示 a 的取值，第 2 个数表示 b 的取值而事件 A 包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为 P(A) .912 34角度二古典概型与函数相结合问题袋里装有五个球，号码依次为 1,2,3,4,5，设号码为 x 的球重( x25 x30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？解：设质量相等的两球的号码分别是 m， n， m n，则有 m25 m30 n25 n30，解得m n5.而五个球中任意取两球的基本事件共有 10 种，符合题意的只有 2 种，即两球的号码分别是 或 ，所以 P .1
