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1、http:/ - 1 -第一部分 集合1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？ ；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3主要性质和运算律（1） 包含关系：,; ;,.UAABCBBABIIU（2） 等价关系： I C（3） 集合的运算律：.;ABBAUII)()(;)( BCCUI)()( CAIIIA UA= A UA=U ,AUAI .,UU= U=U UU(UA)=AU(AB)= ( UA)( UB)
2、 U(AB)= ( UA)( UB)(4) 元素与集合的关系： , .xCxx注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况.(5) 集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；12,naL2n2n非空子集有 1 个；非空真子集有 2 个.4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.5.集合个数问题（容斥原理）： ()()cardABcardBcardAUI) ()CcrCadABI()()crcrcrIIII例 1. （2009 陕西卷）某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有
3、 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 人。http:/ - 2 -答案：8. 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为 ,则 . . ABC()0cardBC,()6,()4cardABcardC由公式 ()()()()AcrBadcrardcr易知 36=26+15+13-6-4- 故 =8 即同时参加数学和化学小组的有 8 人.AC6.从集合 到集合 的映射有 个.na,321mb,321n课后练习：1.（2010 辽宁文数） （1）已知集合
4、， ，则,579U1,57AUCA（A） （B） （C） （D）,3333,92.（2010 陕西文数）1.集合 A=x 1 x2， B x x1,则 A B= D(A)x x1 （B） x 1 x2(C) x 1 x1 (D) x 1 x13.（2010 浙江理数） （1）设 P=xx 0 且 ，试求函数 的单调区间。1)4(log2xyahttp:/ - 4 -解：函数 的定义域为 ，)34(log2xya41x令 45uu 在 上是增函数，在 上是减函数2,1( ),2当 01 时，函数 y 是 u 的增函数，故函数 在 上是增函数，在)(l2xya,(上是减函数),2注意：外函数 的定
5、义域是内函数 的值域。)(ufy)(xgu4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。（2009 北京理）若函数1,0(),3xf则不等式 1|()|3fx的解集为_.【答案】 3,1【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由0|()| 3013xf x.（2）由 |()| 1133xxfx x.不等式 1|()|f的解集为 |，应填 3,.5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 是奇函数 ；)(xf1)(0)()()( xfxffxff 是偶函数 ；奇函数 在原点有定义，则 ；)(xf
6、0)(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；奇偶函数的图象特征：http:/ - 5 -奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数多项式函数 的奇偶性：10()nnPxaxaL多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.()xx可导函数 ，如果 为奇函数，那么它的导函数是偶函数，如果 为偶函数，那么它f
7、)(f )(xf的导函数是奇函数。6函数的单调性单调性的定义： 在区间 上是增（减）函数 当 时)(xfM,21Mx21x；0)(21fxf )0()(2121xf )0(f例题：(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 满足：对任意的 1212,(,0)xx，有 2121()()0xffx.则当 *nN时,有 (A) ()()fffn (B) ()(1)fnffn (C) (C) 11 (D) 1)( 答案：C 1212121,(,0)()()0)(,0() )()()(1)xxxffxfffffnfnffnf解 析 ： 时 ， 在 为 增 函 数为 偶 函 数 在 ， 为 减 函 数而
8、 n+-,单调性的判定定义法：注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判21x断符号；导数法（见导数部分） ；注：证明单调性主要用定义法和导数法。设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，)(xfy0)(xf)(xf 0)(xf则 为减函数.复合函数法 ;图像法。7函数的周期性http:/ - 6 -(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数） ，则称函数x)(xfTfT为周期函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说)(xfT明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；2:sinTxy 2
9、:cosTxy Txy:tan； ；|:)(),i( AA |:t函数周期的判定：定义法（试值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论： 或 的周期为 ；)()(axff)0()2(axff )(xfa2 的图象关于点 中心对称 周期 2 ；y0,bb 的图象关于直线 轴对称 周期为 2 ；)(xf x)(xf 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期 4 ；y),(ab)(xfba如果 ，或 ，或 ,)(xfxf)0()1xff 1f()0则 的周期 T=2a；8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；xy)R指数函数 的图象和性质)10(ayx且http:/ - 7 -a1
10、 00 时，y1;x0 时，01.性质（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数指数运算法则 mnamna()mna()mab对数函数 y=logax 的图象和性质；对数运算：naaacbNanaaaNMNNn1121 logl.logllllog1llll og)(og3og)12)1(推 论 ：换 底 公 式 ：正弦函数: ；xysin余弦函数： ；c正切函数： ；ta一元二次函数： ；02cbx(1)解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；零点cxf2)( khxaf2)(),(式： 。()21xaxf(2)二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；二次函数 的图象的对称轴方程是
11、cbxy2；顶点坐标是 ；端点abx2abc422， 值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。http:/ - 8 -(3)二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。0 0 0二次函数 cbxay2（ ）的图象0一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R的 解 集)0(2acbx21x 其它常用函数：正比例函数： ；反比例函数： ；特别的 ，函数)0(ky )0(kxyxy1；)(xy形如 0,)abcdbc的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线 dc(由分母为零确定)、直线 y(由分子、分母中 x的系数确定)，双曲线的中
12、心是点 (,)dac.9几个常见的函数方程： (1)正比例函数 , .()fxc()(),(1fyfyfc(2)指数函数 , .a0xa(3)对数函数 , .()logfx()(),(,1)fyfyf(4)幂函数 , .,1x(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，f(0)=1. ()csfx()singx()()()fyfxgy2fyfxy10函数图象图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法；熟悉常用函数图象：例：含 的函数图像关于 轴对称.|xyhttp:/ - 9 -例如： 的图像的做法 |2xy|21xy 12xy|xy|21xy x x(0,1) xy(-2,1)关于
13、轴对称，例如 .|yx|12|xy x熟悉分式函数的图象：例： 定义域 ，3721xy,3|Rx值域 值域 前的系数之比.,|R图象变换： 平移变换： ， 左“+”右“-” ；)()(axfyxfy)0( 上“+”下“-” ；,k 伸缩变换： ， （ 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；)()(xfyxfy)0 1 ， （ 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍；A A 对称变换： ； ；)(xfy )0,( )(xfy)(xfy 0y)(xf ； ； x x1 翻转变换： 右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉） ；|)()(xfyxfy )(xfy 上不动，下向上翻（| |在 下面无图象） ；|11函数图象（曲线）对称性的证明(一) (1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍)(xfy xy23http:/
