《2017-2018年高中数学 考点32 直线、平面垂直的判定及其性质（含2017年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 考点32 直线、平面垂直的判定及其性质（含2017年高考试题）新人教a版（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1考点 32 直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(2017北京高考文科T18)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上一点.(1)求证:PABD.(2)求证:平面 BDE平面 PAC.(3)当 PA平面 BDE 时,求三棱锥 E-BCD 的体积.【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.【解析】(1)因为 PAAB,PABC,AB平面 ABC,BC平面 ABC,且 ABBC=B,所以 PA平面 ABC,BD平面 ABC,所以 PABD.(2)因为
2、 AB=BC,D 是 AC 的中点,所以 BDAC,由(1)知 PA平面 ABC,因为 PA平面 PAC,所以平面 PAC平面 ABC,因为平面 PAC平面 ABC=AC,BD平面 ABC,BDAC,所以 BD平面 PAC,因为 BD平面 BDE,所以平面 BDE平面 PAC.(3)因为 PA平面 BDE,又 DE=平面 BDE平面 PAC,因为 PA平面 PAC,所以 PADE,因为 D 是 AC 中点,所以 E 为 PC 的中点,所以 DE=1,所以 SBDC = 12SABC = 22=1,VE-BCD=31DE= 11=13.2.(2017天津高考文科T17)如图,在四棱锥 P-ABC
3、D 中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值.(2)求证:PD平面 PBC.(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.【命题意图】本题考查异面直线所成角、线面垂直、线面角等基础知识.考查空间想象能力,运2算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)因为 ADBC,所以DAP 或其补角就是异面直线 AP 与 BC 所成的角,因为 AD平面 PDC,所以 ADPD,在 RtPDA 中,AP= 2ADP= 5,所以,cosDAP= = ,所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5.(2)因为 AD
4、平面 PDC,所以 ADPD,又因为 ADBC,PDBC,又 PDPB,BCPB=B,所以 PD平面 PBC.(3)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面PBC 所成的角.因为 PD平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.由于 ADBC,DFAB,故 BF=AD=1,由已知,得 CF=BC-BF=2.又 ADDC,故 BCDC,在 RtDCF中,可得 DF= 2DCF=2 5.在 RtDPF 中,sinDFP= P= .所以,直线 AB 与平面 PB
5、C 所成角的正弦值为 5.3.(2017山东高考文科T18)由四棱柱 ABCDA 1B1C1D1截去三棱锥 C1B 1CD1后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A 1E平面 ABCD,(1)证明:A 1O平面 B1CD1.(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.【命题意图】本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质,意在考查考生的空间想象能力,转化与化归能力.【证明】(1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1,3由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1OC,A 1O1
6、=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形,所以 A1OO 1C,又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1CD1,所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 ACBD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EMBD,又 A1E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1EBD,因为 B1D1BD,所以 EMB 1D1,A1EB 1D1,又 A1E,EM平面 A1EM,A1EEM=E,所以 B1D1平面 A1EM,又 B1D1平面 B1CD1,所以平面 A1EM平面 B1CD1.4.(2017全国甲卷文T18)(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且
7、垂直于底面 ABCD,AB=BC= 2AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线 BC平面 PAD.(2)若PCD 的面积为 2 7,求四棱锥 P-ABCD 的体积.【命题意图】面面垂直的性质,线面平行的判定定理以及几何体的体积,意在考查学生的逻辑推理能力和运算能力.【解析】(1)在平面 ABCD 内,因为BAD=ABC=90, 所以 BCAD, 又 BC平面 PAD,AD平面PAD,故 BC平面 PAD.(2)取 AD 的中点 M,连接 PM,CM,由 AB=BC= 12AD 及 BCAD,ABC=90,得四边形 ABCM 为正方形,则 CMAD,因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PMAD,PM平面 ABCD,因为 CM平面 ABCD,所以 PMCM,设 BC=x,则CM=x,CD= 2x,PM= 3x,PC=PD=2x,取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PNCD,所以 PN= 142x,因4为PCD 的面积为 2 7,所以 1 2x 14x=2 7,解得 x=-2(舍去),x=2,于是AB=BC=2,AD=4,PM=2 3,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V=3 242 3=4 .
