《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学案（含解析）新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学案（含解析）新人教a版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、124.1抛物线及其标准方程抛物线的定义提出问题如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题 1：| DA|是点 D 到直线 EF 的距离吗？为什么？提示：是 AB 是直角三角形的一条直角边问题 2：点 D 在移动过程中，满足什么条件？提示：| DA| DC|.问题 3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线导入新知抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨
2、迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线化解疑难对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点 M 与点 F 的距离和它到直线 l的距离之比等于 1.(2)注意定点 F 不在直线 l 上，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点 F 垂直于直线l 的一条直线抛物线的标准方程提出问题平面直角坐标系中，有以下点和直线： A(1,0)， B(2,0)； l1： x1， l2： x2.问题 1：到定点 A 和定直线 l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛
3、物线； y24 x.问题 2：到定点 B 和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？2提示： y28 x.导入新知抛物线标准方程的几种形式图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22 px(p0) (p2， 0)xp2y22 px(p0) (p2， 0)xp2x22 py(p0) (0，p2)yp2x22 py(p0) (0， p2) y p2化解疑难1标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项2标准方程中 p 表示焦点到准线的距离， p 的值永远大于零3四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方
4、向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.求抛物线的焦点及准线例 1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y214 x；(2)5x22 y0；(3)y2 ax(a0)解(1)因为 p7，所以焦点坐标是 ，准线方程是 x .(72， 0) 72(2)抛物线方程化为标准形式为 x2 y，25因为 p ，15所以焦点坐标是 ，准线方程是 y .(0，110) 1103(3)由 a0 知 p ，所以焦点坐标是 ，准线方程是 x .a2 (a4， 0) a4类题通法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数 p，从而得焦点坐标和准线方程需注意 p0，焦点所在轴
5、由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴活学活用求抛物线 y ax2(a0)的焦点坐标和准线方程解：把抛物线方程 y ax2化成标准方程 x2 y.1a当 a0 时，焦点坐标是 ，准线方程是 y ；(0，14a) 14a当 a0 时，焦点坐标是 ，准线方程是 y .(0，14a) 14a综上知，所求抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，14a) 14a求抛物线的标准方程例 2求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点 M(6,6)；(2)焦点 F 在直线 l：3 x2 y60 上解(1)由于点 M(6,6)在第二象限，过 M 的抛物线开口向左或开口向上若抛
6、物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22 px(p0)，将点 M(6,6)代入，可得 362 p(6)， p3.抛物线的方程为 y26 x.若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22 py(p0)，将点 M(6,6)代入可得，362 p6， p3，抛物线的方程为 x26 y.综上所述，抛物线的标准方程为 y26 x 或 x26 y.(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是 F(2,0)， 2， p4，p2抛物线的标准方程是 y28 x.4直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)， 3， p6，p2抛物线的标准方程是 x21
7、2 y.综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28 x 或 x212 y.类题通法求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求 p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数活学活用根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为 y1；(2)焦点在 x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是 3.(1)由准线方程为 y1 知抛物线焦点在 y 轴正半轴上，且 1，则 p2.故抛物线p2的标准方程为 x24 y.(2)设焦点在 x
8、轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y22 px(p0)，则焦点坐标为 ，准线为 x ，(p2， 0) p2则焦点到准线的距离是 p3，p2 p2因此所求的抛物线的标准方程是 y26 x.利用抛物线定义求轨迹方程例 3平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程解法一：设点 P 的坐标为( x， y)，则有 | x|1. x 1 2 y2两边平方并化简，得 y22 x2| x|.5 y2Error! 点 P 的轨迹方程为 y24 x(x0)或 y0( x0)法二：由题意，动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1，由于点 F(
9、1,0)到 y轴的距离为 1，故当 x0 时，直线 y0 上的点符合条件；当 x0 时，题中条件等价于点P 到点 F(1,0)与到直线 x1 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，方程为 y24 x.故所求动点 P 的轨迹方程为 y24 x(x0)或 y0( x0)类题通法求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点 P 的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程活学活用已知圆 A：( x2) 2 y21 与定直线 l： x1，且动圆 P 和圆 A 外切并与直线 l 相切，求动圆的圆心 P
10、的轨迹方程解：法一：设点 P 的坐标为( x， y)，由条件知| AP| r1( r 为圆 P 的半径)，即 | x1|1， x 2 2 y2化简，整理得 y28 x.点 P 的轨迹方程为 y28 x.法二：如图所示，作 PK 垂直于直线 x1，垂足为 K，作 PQ 垂直于直线 x2，垂足为Q，则| KQ|1，| PQ| r1.又| AP| r1，| AP| PQ|，故点 P 到圆心 A(2,0)的距离和定直线 x2 的距离相等，点 P 的轨迹为抛物线， A(2,0)为焦点，直线 x2 为准线 2， p4.点 P 的轨迹方程为 y28 x.p23.研 析 抛 物 线 定 义 的 应 用典例已知
11、抛物线 y22 x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又6有点 A(3,2)，求| PA| PF|的最小值，并求出取最小值时的 P 点坐标解如图，作 PN l 于 N(l 为准线)，作 AB l 于 B，则| PA| PF| PA| PN| AB|，当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号(| PA| PF|)min| AB|3 .12 72此时 yP2，代入抛物线得 xP2， P 点坐标为(2,2)多维探究(1)若已知抛物线上点 P 到焦点 F 的距离(或与此有关)，往往转化为点 P 到准线的距离，其步骤是：过 P 作 PN 垂直于准线 l，垂足 N；连接 PF；| PF| (
12、焦点在 x 轴正半轴上时)|PN| xPp2(2)上例中，求| PA| PF|的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA| PF| PA| PN| AB|.体现了数形结合的思想1若点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，求点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它 到焦点的距离由图可知， P 点，(0,2)点，和抛物线的焦点 三点共线时距(12， 0) 离之和最小，所以最小距离 d .(0 12)2 2 0 2 1722若点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，求点 P 到直线 3x4 y 0 的距离
13、与 P 到72该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图7|PA| PQ| PA| PF| AF|min.AF 的最小值为 F 到直线 3x4 y 0 的距离72d 1.312 7232 423若长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22 x 上移动， M 为 AB 的中点，求 M 点到 y 轴的最短距离解：设抛物线焦点为 F，连接 AF， BF，如图抛物线 y22 x 的准线为 l： x ，过12A， B， M 分别作 AA， BB， MM垂直于 l，垂足分别为 A， B， M.由抛物线定义，知| AA| FA|，| BB| FB|.又 M 为 AB 中点，由梯形中位线定理，得| MM
14、| (|AA| BB|)12 (|FA| FB|)12 |AB| 3 .12 12 32则 x 1( x 为 M 点的横坐标，当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取得等号)，32 12所以 xmin1，即 M 点到 y 轴的最短距离为 1.类题通法解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易8随堂即时演练1焦点是 F(0,5)的抛物线的标准方程是()A y220 x B x220 yC y2 x D x2 y120 120解析：选 B由 5 得 p10，且焦点在 y 轴正半轴上，故方程形式为 x22 py，所以p2x220 y.2设抛物线 y28 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选 B由抛物线的方程得 2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为p2 42426.3若双曲线 1 的右焦点与抛物线 y212 x 的焦点重合，则 m_.x2m y23解析：抛物线焦点为(3,0)， 3 且 m0，则 m6.m 3答案：64焦点为 F 的抛物线 y22 px(p0)上一点 M 在准线上的射影为 N，若| MN| p，则|FN|_.解析：由条件知| MF| MN| p， MF MN，在 MNF 中， F
