六年级奥数专题18：抽屉原理

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1、十八 抽屉原理(1)年级 班 姓名 得分 一、填空题1.一个联欢会有 100 人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这 100人中至少有 个人的朋友数目相同.2.在明年(即 1999 年) 出生的 1000 个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有 个.(2)至少有 个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出 2 个,要保证有 10 次所摸的结果是一样的,至少要摸 次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各 4 颗混放在口袋里,为了保证一次能取到 2 颗颜色相同的珠子,一次至少要取 颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各 2 颗,那么一定至少要取出

2、颗.5.从 1,2,3,12 这十二个数字中,任意取出 7 个数,其中两个数之差是 6 的至少有 对.6.某省有 4 千万人口,每个人的头发根数不超过 15 万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有 个.8.一付扑克牌共有 54 张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有 3 种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了 41 个球,那么至少有一个人投进了 个球.10.某班有 37 名小学生,他们都订阅了小朋友 、 儿童时代 、 少年报中的一种或几种,那么其中至少有 名学生订的报刊种类

3、完全相同.二、解答题11.任给 7 个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是 10 的倍数.12.在边长为 1 的正方形内任取 51 个点,求证:一定可以从中找出 3 点,以它们为顶点的三角形的面积不大于 1/50.13.某幼儿园有 50 个小朋友,现在拿出 420 本连环画分给他们,试证明:至少有4 个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在 88 的棋盘上的每一个空格中分别填入数字 1,或 2,或 3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.答 案1. 2因为每个人至少有 1 个朋友,至多有 99 个朋友,将有 1 个朋友的人,2

4、个朋友的人,99 个朋友的人分成 99 类，在 100 个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2. (1)3;(2)636因为 1999 年有 365 天,故在 1999 年出生的孩子至少有 (个)孩31650子的生日相同;又因为 1000-(365-1)=363,即至少有 363 个孩子将来不单独过生日.3. 91当摸出的 2 个球颜色相同时,可以有 4 种不同的结果;当摸出的 2 个球颜色不同时,最多可以有 3+2+1=6(种)不同结果.一共有 10 种不同结果.将这 10 种不同结果看作 10 个抽屉,因为要求 10 次摸出结果相同,故至少要摸 910+1=91(次).4.

5、4;7将三种不同颜色看作 3 个抽屉,对于第一问中为保证一次取到 2 颗相同颜色的珠子,一次至少要取 13+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各 2 颗,一次至少要取4+(12+1)=7(颗) 珠子.5. 1将 112 这十二个数组成 这六对两数差为 61,65,049,382,71的数组.任取 7 个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为 6.6. 267将 4 千万人按头发的根数进行分类:0 根,1 根,2 根,150000 根共 150001 类.因为 40000000=(266150001)+99743266150001,故至少有一类中的人数不少于 26

6、6+1=267(个),即该省至少有 267 个人的头发根数一样多 .7. 7将每 10 块颜色相同的木块算作一类,共 3 类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有 23+1=7(块).8. 29将 4 种花色看作 4 个抽屉,为了保证取出 3 张同色花,那么应取尽 2 个抽屉由的 213 张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取 213+2+1=29(张)才行.9. 9将 5 个同学投进的球作为抽屉,将 41 个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了 9 个球,( 否则最多只能进 58=40 个球).10. 6订阅报刊的种类共有 7 种:单订一份 3 种,

7、订二份 3 种,订三分 1 种.将 37 名学生依他们订的报刊分成 7 类,至少有 6 人属于同一类,否则最多只有 66=36(人).11. 将整数的末位数字(09)分成 6 类: .,47,829,150在所给的 7 个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是 10 的倍数;若此 7 数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述 6 类中的某一类,其和是 10 的倍数.12. 将边长为 1 的正方形分成 25 个边条为 的正方形,在 51 个点中,一定51有 (个) 点属于同一个小正方形.3125不妨设 A、B、C 三点边长为 的小正方形 EFGH 内,由于三角形 ABC 的面51积不大于

8、小正方形面积 EFGH 的 ,又 EFGH 的面积为 .故三角形 ABC 的面2251积不大于 .50113. 考虑最极端的情况,有 3 个小朋友分到 1 本,有 3 个小朋友分到 2 本,有 3 个小朋友分到 16 本,最后两个小朋友分到 17 本,那么一共至少要3(1+2+3+16)+217=442(本), 而 442420,故一定有 4 个小朋友分了同样多的书.14. 注意到 8 行、8 列及两对角线共有 18 条“线”,每条线上有 8 个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有 18 种以上的可能.但我们填入的数只有 1、2、3 三种,因此在每条线上的 8 个数字中

9、,其和最小是 8,最大是 24,只有 24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.ABCEF GH十八 抽屉原理(2)年级 班 姓名 得分 一、填空题1.半步桥小学六年级(一) 班有 42 人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212 本图书,那么其中至少有一人借 本书.2.今天参加数学竞赛的 210 名同学中至少有 名同学是同一个月出生的.3.学校五(一)班 40 名学生中,年龄最大的是 13 岁,最小的是 11 岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的.4.有红、黄、蓝、白四色小球各 10 个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出_ 个,才能保证有 2

10、个小球是同色的.5.有红、黄、蓝、白四色小球各 10 个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出_个,才能保证有 6 个小球是同色的.6.布袋中有 60 个形状、大小相同的木块,每 6 块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同.7.某商店有 126 箱苹果,每箱至少有 120 个苹果,至多有 144 个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有 n 个箱子,则 n 的最小值为 .8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各 4 双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的 2 双筷子,则至少要摸出 根.9.袋子里装有红色球 80 只,蓝

11、色球 70 只,黄色球 60 只,白色球 50 只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出 10 对同色球,至少应摸出_只.10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各 2 支,让一位小朋友随便抓 2 支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次)二、解答题11.某游旅团一行 50 人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同.12.从一列数 1,5,9,13,93,97 中,任取 14 个数.证明:其中必有两个数的和等于 102.13.在一个边长为 1 的正三角形内,任给 5 个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于

12、1/2.14.设 , 是任意互异的 12 个整数,试证明其中一定存在 8 个整数,21x1, ,使得: 恰是 1155 的倍数.,21x8 )()()()( 8765432 xx答 案1. 6将 42 名同学看成 42 个抽屉,因为 212=542+1,故至少有一个抽屉中有 6 本或 6 本以上的书.2. 18因 210=1712+16,故一定有 18 个或 18 个以上同学在同一月出生.3. 2这 40 名同学的年龄最多相差 36 个月(三年)因 40=136+4,故必有 2 人是同年、同月出生的.4. 5从极端考虑:即使先取走取的 4 个球都是不同色的, 那么取第 5 个球时就必有二球同色

13、了.5. 21将球按颜色分成 4 类,每次各取 5 个时,也无 6 球同色,故应取(6-1)4+1=21(个)球,才能保证一定有 6 球同色.6. 21将布袋中的木块按编号分成 606=10(类) 要保证其中某一类至少有三个,至少应拿出(3-1)10+1=21( 块 ).7. 6每箱数目是 120144,共有 25 种可能.因 126=525+1,故至少有 5+1=6(个)装相同苹果数的箱子,即 n 最小为 6.8. 11当摸出 10 根时,可能是 8 根黑筷,白筷,红筷各一根,没有“不同颜色的二双”.当摸出 11 根时,至多有 8 根属于同一颜色,那么另 3 根中至少有二根是同色的.9. 2

14、3当摸出 22 只球时,可能有 9 对同色球,但剩余四球分别为红、蓝、黄、白各一只,达不到 10 对,另一方面,每摸出 5 个球,就会出现一对同色球,将这一对挪开,再摸出两个球,就必然会又出现一对红色球,如此下去,摸出 23 只球就能保证有 10对同色球.10. 11两支笔的种类可分为同色与异色.同色的有 4 种,异色的有 3+2+1=6 种,为了保证至少有两次抓到笔的种类完全相同,至少要抓 110+1=11(次).11. 浏览一个地方的,有 3 种,浏览二个地方的,有 3 种,浏览三个地方的,有 1种,一个地方也不去的,有 1 种,共有 8 种方式.故至少有 (人).浏览的71850地方是完

15、全相同的.12. 给出的数是一个等差数列,它一共有 25 个数,将这 25 个组分成 13 组:.53,497,891397,51L在这 25 个数中任取 14 个数来,必有二数属于上述 13 组中的同一组,故这一组二数之和是 102.13. 如图,将三角形三边中点连结起来,就将原三角形分成了四个小三角形, 其边长均为 ,在原三角形内,任意给 5 个点,其中至少有两点在同一个小三角21形内,这两点的距离小于小三角形的边长 .2114. 对 1155 分解质因数得 1155=35711.在所给的 12 数中,必有 2 数除以 11,余数相同,设这 2 数为 x1,x2,则(x 1-x2)是 11的倍数.在剩下的数中,必有 2 数除以 7,余数相同,设这 2 数为 x3,x4,则(x 3-x4)是 7 的倍数.在剩下的 8 数中,必有 2 数除以 5,余数相同,设这 2 数为 x5,x6,则(x 5-x6)是 5 的倍数.在剩下的 6 数中,必有 2 数除以 3,余数相同,设这